微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
数值方法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 牛顿–拉弗森法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 线性插值
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 梯形法则
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 辛普森法则（n 为偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 梯形法则的误差界
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 欧拉
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 休恩法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
方法
- 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
- 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
- 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
- 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。
2练习题
1.微分方程中等
解 y″ + 8y′ + 15y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 1。求 y(2)。
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(2) =
2.微分方程困难
解 y″ + 2y′ + 17y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。
y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
3.积分中等
计算 I = ∫210 2/x dx。
f(x) = 2/x[2, 10]
I =
4.积分困难
求由 y = x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = x2y = 2x
A =
5.导数中等
设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。
f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad
f′(1.5) =
6.导数困难
f(x) = 0.5x2 − 2x − 2 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 0.5x2 − 2x − 2x = 1
b =
7.数值方法中等
用辛普森法则取 n = 6 条窄条，近似计算 ∫02 1/(1 + x³) dx。给出 S。
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
8.数值方法困难
对 y′ = t − y，y(0) = 2，用欧拉法，取 h = 0.5，估计 y3 ≈ y(1.5)。
y′ = t − yy(0) = 2h = 0.5
y3 =
3溶液
1.微分方程
答案: y(2) = 0.03186
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
特征根
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
由初值求常数
A + B = 5, −3A − 5B = 1
A = 13, B = −8
求值
y(2) = 13·e−6 + (−8)·e−10 = 0.03186
答案
y(2) = 0.03186
2.微分方程
答案: y(0.75) = −2.255
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
复根
r = −1 ± 4j
常数
A = 5, B = 1·5/4 = 1.25
求值
y(0.75) = e−0.75(5·cos 3 + 1.25·sin 3) = −2.255
答案
y(0.75) = −2.255
3.积分
答案: I = 3.219
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = 2·ln x
代入上下限
I = 2·(ln 10 − ln 2) = 2·ln 5 = 3.219
答案
I = 3.219
4.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
x2 = 2x → x = 0, x = 2
对上减下积分
A = [x2 − 0.3333x3]02 = 1.333
答案
A = 1.333
5.导数
答案: f′(1.5) = −2.829
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
代入
f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829
答案
f′(1.5) = −2.829
6.导数
答案: b = −2.5
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(1) = −3.5
f′(x) = x − 2 → f′(1) = −1
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3.5 − (−1)·1 = −2.5
答案
b = −2.5
7.数值方法
答案: S = 1.091
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
节点与函数值
h = 0.3333
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.964286 + 2·0.771429 + 4·0.5 + 2·0.296703 + 4·0.177632 + 0.111111 = 9.815044
辛普森法则
S = (0.3333/3)·9.815044 = 1.091
答案
S = 1.091
这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。
8.数值方法
答案: y3 = 0.875
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
欧拉法各步
y₁ = 2 + 0.5·(−2) = 1
y₂ = 1 + 0.5·(−0.5) = 0.75
y₃ = 0.75 + 0.5·(0.25) = 0.875
图表
y3 = 0.875
答案
y3 = 0.875
精确值为 y(1.5) = 1.16939。
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