微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
数值方法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 牛顿–拉弗森法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 线性插值
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 梯形法则
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 辛普森法则（n 为偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 梯形法则的误差界
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 欧拉
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 休恩法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
方法
- 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
- 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
- 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
- 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。
2练习题
1.微分方程中等
解 y″ + 6y′ + 8y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 2。求 y(0.5)。
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(0.5) =
2.微分方程困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 11.25y = 22.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。
y″ + 3y′ + 11.25y = 22.5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
3.积分中等
将 y = √(2x) 之下、从 x = 0 到 x = 4 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（抛物面体）的体积 V。
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 4
V =
4.积分困难
将直线 y = 5x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 5xy = 2x²
V =
5.导数中等
设 f(x) = ln(3x2 + 5)。求 f′(−2)。
f(x) = ln(3x2 + 5)x = −2
f′(−2) =
6.导数困难
f(x) = 2x2 + 5x 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 2x2 + 5xx = −2
b =
7.数值方法中等
每隔 1 s 测量一次车辆的速度（见表）。用梯形法则估计从 t = 0 到 t = 6 s 行驶的距离 s。
h = 1 sn = 6
s = m
8.数值方法困难
对 y′ = t² + y²，y(0) = 0，取 h = 0.5，做一步经典龙格–库塔法 (RK4)。求 y₁ ≈ y(0.5)。
y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0.5
y1 =
3溶液
1.微分方程
答案: y(0.5) = 2.034
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
特征根
(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4
由初值求常数
A + B = 3, −2A − 4B = 2
A = 7, B = −4
求值
y(0.5) = 7·e−1 + (−4)·e−2 = 2.034
答案
y(0.5) = 2.034
2.微分方程
答案: y(1.5) = 2.147
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
稳态值与根
yss = 2, r = −1.5 ± 3j
由初值求常数
y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −1
求值
y(1.5) = 2·(1 − e−2.25(cos 4.5 + 0.5·sin 4.5)) = 2.147
答案
y(1.5) = 2.147
3.积分
答案: V = 50.27
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀4 2x dx
积分
V = π·2·4²/2 = 50.27
答案
V = 50.27
4.积分
答案: V = 163.6
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
5x = 2x² → x = 0, x = 2.5
垫圈法
V = π∫₀2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx
积分
V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6
答案
V = 163.6
5.导数
答案: f′(−2) = −0.7059
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 6x/(3x2 + 5)
代入
f′(−2) = −12/17 = −0.7059
答案
f′(−2) = −0.7059
6.导数
答案: b = −8
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(−2) = −2
f′(x) = 4x + 5 → f′(−2) = −3
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−3)·(−2) = −8
答案
b = −8
7.数值方法
答案: s = 45 m
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
加权和
0 + 2·6 + 2·6 + 2·9 + 2·7 + 2·11 + 12 = 90
梯形法则
s = (1/2)·90 = 45 m
答案
s = 45 m
8.数值方法
答案: y1 = 0.04179
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
四个斜率
k₁ = f(0, 0) = 0
k₂ = f(0.25, 0) = 0.0625
k₃ = f(0.25, 0.015625) = 0.0627441
k₄ = f(0.5, 0.0313721) = 0.250984
合并
y₁ = 0 + (0.5/6)(0 + 2·0.0625 + 2·0.0627441 + 0.250984) = 0.04179
答案
y1 = 0.04179
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