微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
数值方法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 牛顿–拉弗森法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 线性插值
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 梯形法则
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 辛普森法则（n 为偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 梯形法则的误差界
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 欧拉
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 休恩法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
方法
- 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
- 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
- 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
- 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。
2练习题
1.微分方程中等
解 y″ + 5y′ + 6y = 0，其中 y(0) = 4，y′(0) = -2。求 y(1.5)。
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = -2
y(1.5) =
2.微分方程困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 6.25y = 6.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。
y″ + 3y′ + 6.25y = 6.25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3.积分中等
计算 I = ∫210 5/x dx。
f(x) = 5/x[2, 10]
I =
4.积分困难
求由 y = 0.5x2 和 y = 3x 围成区域的面积 A。
y = 0.5x2y = 3x
A =
5.导数中等
设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
6.导数困难
f(x) = 2x2 − 5x − 2 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 2x2 − 5x − 2x = 2
b =
7.数值方法中等
对 ∫01 sin x dx 使用梯形法则。误差至多为 (b − a)³·M/(12n²)，其中 M 为 [0, 1] 上的 max|f″|。求能保证误差小于 0.0001 的最少窄条数 n。
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0.0001
n =
8.数值方法困难
用欧拉法、步长 h = 0.5，解 y′ = t − y，y(0) = 2，直到 t = 2.5。精确解为 y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t。求整体误差 |E| = |y(2.5) − y5|。
y′ = t − yy(0) = 2h = 0.5
|E| =
3溶液
1.微分方程
答案: y(1.5) = 0.4312
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
特征根
(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3
由初值求常数
A + B = 4, −2A − 3B = -2
A = 10, B = −6
求值
y(1.5) = 10·e−3 + (−6)·e−4.5 = 0.4312
答案
y(1.5) = 0.4312
2.微分方程
答案: y(0.5) = 0.4467
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
稳态值与根
yss = 1, r = −1.5 ± 2j
由初值求常数
y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −1.5A + 2B = 0 → B = −0.75
求值
y(0.5) = 1·(1 − e−0.75(cos 1 + 0.75·sin 1)) = 0.4467
答案
y(0.5) = 0.4467
3.积分
答案: I = 8.047
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = 5·ln x
代入上下限
I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8.047
答案
I = 8.047
4.积分
答案: A = 18
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
0.5x2 = 3x → x = 0, x = 6
对上减下积分
A = [1.5x2 − 0.1667x3]06 = 18
答案
A = 18
5.导数
答案: f′(0.5) = 0.9182
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答案
f′(0.5) = 0.9182
6.导数
答案: b = −10
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(2) = −4
f′(x) = 4x − 5 → f′(2) = 3
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 3·2 = −10
答案
b = −10
7.数值方法
答案: n = 27
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
二阶导数的上界
M = sin 1 = 0.8415
解出 n
n² > 1·0.8415/(12·0.0001) = 701.2
n > 26.48 → n = 27
答案
n = 27
8.数值方法
答案: |E| = 0.1525
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
欧拉法各步
y5 = 1.59375
精确值
y(2.5) = 1.746255
整体误差
|E| = |1.746255 − 1.59375| = 0.1525
图表
答案
|E| = 0.1525
把 h 减半，欧拉法的误差大约也减半。
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