微分方程：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

微分方程

指数增长/衰减
dy/dt = ky → y = y0ekt
半衰期
k = ln 2 / t½
牛顿冷却定律
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
积分因子
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
混合槽
dm/dt = r·c − (r/V)·m

积分

幂法则
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分
∫ab f dx = F(b) − F(a)
常用积分
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积
∫ab (f − g) dx

方法

  1. 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
  2. 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
  3. 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
  4. 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

导数

幂法则
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则
(uv)′ = u′v + uv′
商法则
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

  1. 识别结构：和、积、商还是复合。
  2. 对 x 的每个幂应用幂法则。
  3. 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
  4. 化简，如有要求再代入该点求值。

数值方法

二分法
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
牛顿–拉弗森法
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
线性插值
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
梯形法则
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
辛普森法则（n 为偶数）
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
梯形法则的误差界
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
欧拉
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
休恩法
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

方法

  1. 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
  2. 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
  3. 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
  4. 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。

2练习题

1.微分方程中等
tyy(0) = 1y(1) = ?

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = -2。求 y(1)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(1) =
2.微分方程困难
tyK = 1ymax​ = ?

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 ymax。

y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.积分中等
xy13y = x ln x

计算 I = ∫₁3 x·ln x dx。

∫₁3 x ln x dx
I =
4.积分困难
xy−22

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²
A =
5.导数中等
xyx = 0.5

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
6.导数困难
xy

设 f(x) = x3 + 4.5x2 + 6x − 2。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x3 + 4.5x2 + 6x − 2
x =
7.数值方法中等
xy00.16670.33330.50.66670.83331

用辛普森法则取 n = 6 条窄条，近似计算 ∫01 sin(x²) dx。给出 S。

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
8.数值方法困难
00.5100.51ty(0, 0)

对 y′ = e−ty，y(0) = 0，用欧拉法，取 h = 0.2，估计 y5 ≈ y(1)。

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0.2
y5 =

3溶液

1.微分方程

答案: y(1) = 0.1353

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = -2 + 2 = 0

求值

y(1) = (1 + 0·1)·e−2 = 0.1353

答案

y(1) = 0.1353
2.微分方程

答案: ymax = 1.308

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

yss = 1, r = −1.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1
y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375

峰值

t = π/4 = 0.7854
ymax = 1·(1 + e−1.5·π/4) = 1.308

答案

ymax = 1.308
3.积分

答案: I = 2.944

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944

答案

I = 2.944
4.积分

答案: A = 10.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67
5.导数

答案: f′(0.5) = 1.104

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

答案

f′(0.5) = 1.104
6.导数

答案: x = −1

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

导数

f′(x) = 3x2 + 9x + 6 = 3·(x2 + 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = −1

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3
x = −1

答案

x = −1
7.数值方法

答案: S = 0.3102

数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。

ixᵢf(xᵢ)体重000110.1666670.0277742420.3333330.110883230.50.247404440.6666670.429956250.8333330.6399594610.8414711

节点与函数值

h = 0.1667
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.0277742 + 2·0.110883 + 4·0.247404 + 2·0.429956 + 4·0.639959 + 0.841471 = 5.583696

辛普森法则

S = (0.1667/3)·5.583696 = 0.3102

答案

S = 0.3102

这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。

8.数值方法

答案: y5 = 0.8195

y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00010.210.20.20.9607890.39215820.40.3921580.8548210.56312230.60.5631220.7132860.70577940.80.7057790.5685740.819494

欧拉法各步

y₁ = 0 + 0.2·(1) = 0.2
y₂ = 0.2 + 0.2·(0.960789) = 0.392158
y₃ = 0.392158 + 0.2·(0.854821) = 0.563122
y₄ = 0.563122 + 0.2·(0.713286) = 0.705779
y₅ = 0.705779 + 0.2·(0.568574) = 0.819494
00.5100.51ty

图表

y5 = 0.8195

答案

y5 = 0.8195

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