微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
微分方程：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
数值方法
- 二分法
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- 牛顿–拉弗森法
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- 线性插值
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- 梯形法则
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- 辛普森法则（n 为偶数）
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- 梯形法则的误差界
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- 欧拉
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- 休恩法
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
方法
- 求根：二分法要检查变号，牛顿法要计算 f 和 f′，并在迭代值表中保留六位或更多位数字。
- 求表中的值：在两个相邻的点之间做线性插值。
- 求积分：求出 h = (b − a)/n，列出每个节点处的 f，应用权重（梯形法则为 1, 2, …, 2, 1；n 为偶数时辛普森法则为 1, 4, 2, …, 4, 1），再乘以 h/2 或 h/3。
- 求常微分方程：从 t₀ 出发，用 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)（欧拉法）或平均斜率（休恩法）逐步前进，每步一行，直到到达所要求的 t。
2练习题
1.微分方程中等
一杯 91 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 已知 k = 0.12 min⁻¹，求 13 min 后的温度 T。
T0 = 91 °CTa = 18 °Ck = 0.12 min⁻¹t = 13 min
T = °C
2.微分方程困难
求解 y′ + 3y = 4e−0.5t，y(0) = 0。求 y(1)。
y′ + 3y = 4e−0.5ty(0) = 0
y(1) =
3.积分中等
计算 I = ∫02 e−0.5x dx。
f(x) = e−0.5x[0, 2]
I =
4.积分困难
求由 y = x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = x2y = 2x
A =
5.导数中等
设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。
f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad
f′(1.5) =
6.导数困难
设 f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 1。求局部极大值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 1
x =
7.数值方法中等
用辛普森法则取 n = 2 条窄条，近似计算 ∫02 √(1 + x³) dx。给出 S。
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
8.数值方法困难
对 y′ = cos t − y，y(0) = −1，用休恩法（改进欧拉法），取 h = 0.1，估计 y3 ≈ y(0.3)。
y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0.1
y3 =
3溶液
1.微分方程
答案: T = 33.34 °C
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
冷却定律的解
T(t) = 18 + 73·e−0.12t
代入 t
T(13) = 18 + 73·0.2101 = 33.34 °C
答案
T = 33.34 °C
2.微分方程
答案: y(1) = 0.8908
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
积分因子
μ = e3t
(e3ty)′ = 4e2.5t
通解
y = 4/2.5·e−0.5t + C·e−3t = 1.6·e−0.5t + C·e−3t
初始条件
0 = 1.6 + C → C = −1.6
求值
y(1) = 1.6·0.6065 + (−1.6)·0.04979 = 0.8908
答案
y(1) = 0.8908
3.积分
答案: I = 1.264
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = e−0.5x/(−0.5)
代入上下限
I = (e−1 − 1)/(−0.5) = (0.3679 − 1)/(−0.5) = 1.264
答案
I = 1.264
4.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
x2 = 2x → x = 0, x = 2
对上减下积分
A = [x2 − 0.3333x3]02 = 1.333
答案
A = 1.333
5.导数
答案: f′(1.5) = −1.926
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
代入
f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926
答案
f′(1.5) = −1.926
6.导数
答案: x = −1
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3·(x2 − 2x − 3)
解 f′(x) = 0
x = −1 或 x = 3
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 6：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−1) = −12, f″(3) = 12
x = −1
答案
x = −1
7.数值方法
答案: S = 3.219
数值积分：把 [a, b] 分成 n 条宽度为 h = (b − a)/n 的窄条，节点为 x₀ … xₙ。梯形法则：T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]。辛普森法则（n 为偶数）：S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]。梯形法则的误差按 h² 缩小（误差界 (b − a)h²·M/12，其中 M = max|f″|），辛普森法则按 h⁴ 缩小，所以在节点数相同时辛普森法则通常精确得多。
节点与函数值
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.414214 + 3 = 9.656854
辛普森法则
S = (1/3)·9.656854 = 3.219
答案
S = 3.219
这个积分没有初等原函数，这正是需要数值方法的情形。
8.数值方法
答案: y3 = −0.4869
y′ = f(t, y) 的数值解：欧拉法沿每一步起点处的斜率前进：yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)。休恩法（改进欧拉法）取起点处斜率与欧拉预测点处斜率的平均：k₁ = f(tₙ, yₙ)，k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)，yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)。经典龙格–库塔法 (RK4) 结合四个斜率：yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)。欧拉法的整体误差与 h 成正比，休恩法与 h² 成正比，RK4 与 h⁴ 成正比。
休恩法各步
y₁ = −1 + (0.1/2)(2 + 1.795004) = −0.81025
y₂ = −0.81025 + (0.1/2)(1.805254 + 1.609791) = −0.639498
y₃ = −0.639498 + (0.1/2)(1.619564 + 1.432878) = −0.486875
图表
y3 = −0.4869
答案
y3 = −0.4869
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