数字电子技术：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −73。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −738 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1010 1101 OR 1110 1111 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1010 1101OR1110 1111

R =

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = AB′ + A′B′C′ + ABC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = AB′ + A′B′C′ + ABC

L =

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 9, 10, 12, 14) + d(7, 13) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 9, 10, 12, 14) + d(7, 13)

L =

5.数据采集与采样中等

一台记录仪用 14 位 ADC 对 4 个通道各以 20 kHz 采样。每个采样点以整数个字节存储。求 15 min 记录所需的内存 M，单位 MB（1 MB = 10⁶ 字节）。

n = 4f_s = 20 kHzN = 14t = 15 min

M = MB

6.数据采集与采样困难

一个 16 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 1 µs，每次切换通道后输入还需要 5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 f_s，单位 kHz。

n = 16t_c = 1 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

3溶液

1.数制

答案: U = 183

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

73 = 0100 1001

取反后: 1011 0110

+1 → 1011 0111

按无符号数读取

1011 0111₂ = 256 − 73 = 183

答案

U = 183

2.数制

答案: R = 239

逐位计算

OR 在至少有一位为 1 时得 1。

1010 1101

OR 1110 1111

= 1110 1111

结果的值

1110 1111₂ = 239

答案

R = 239

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

AB′ → m(4, 5)

A′B′C′ → m(0)

ABC → m(7)

圈组并读出结果

F = B′C′ + AC

数出文字个数

L = 4

答案

L = 4

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 16

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D, AC′D, ACD′, A′BD, ABD′, ABC′, A′B′C′D′

最小覆盖

F = BC′D + AC′D + ACD′ + ABD′ + A′B′C′D′

L = 16

答案

L = 16

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

5.数据采集与采样

答案: M = 144 MB

数据速率：每个通道每秒提供 f_s 个 N 位的采样，因此原始速率为通道数 × f_s × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为通道数 × f_s × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。

每个采样的字节数

⌈14/8⌉ = 2 B

字节速率

4·20000·2 = 160000 B/s

内存

M = 160000·900 = 1.44 × 10⁸ B = 144 MB

答案

M = 144 MB

6.数据采集与采样

答案: f_s = 10.42 kHz

每个通道的时间

1 + 5 = 6 µs

每次扫描的时间

16·6 = 96 µs

每个通道的采样率

f_s = 1/96 µs = 10.42 kHz

答案

f_s = 10.42 kHz

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