数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1010 0001 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1010 00018 bit
N =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 256 × 256 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = A′B′ + AB′ + A′B′C + AB′C 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = A′B′ + AB′ + A′B′C + AB′C
L =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
模 5 计数器必须依次经过 5 个不同的状态。它至少需要多少个触发器 n？
N = 5
n =
5.数据采集与采样中等
一个 800 Hz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 1 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 Hz 给出。
f = 800 Hzfs = 1 kHz
fa = Hz
6.数据采集与采样困难
一个 10 位 ADC 通过 UART 以 9600 波特、8E1 格式（起始位、8 个数据位、偶校验、1 个停止位）发送每个采样点。每个采样点以 2 个整字节发送，且链路一直处于忙碌状态。求能无混叠采样的最高信号频率 fmax，单位 Hz。
baud = 9600 BdN = 108E1
fmax = Hz
3溶液
1.数制
答案: N = −95
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 32 + 1 = −95
答案
N = −95
2.数制
答案: M = 256 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B
换算为 KiB
262144/1024 = 256 KiB
答案
M = 256 KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 1
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
A′B′ → m(0, 1)
AB′ → m(4, 5)
A′B′C → m(1)
AB′C → m(5)
圈组并读出结果
F = B′
数出文字个数
L = 1
答案
L = 1
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: n = 3
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
触发器的个数
2ⁿ ≥ 5 → n = 3 (2³ = 8)
答案
n = 3
5.数据采集与采样
答案: fa = 200 Hz
采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。
奈奎斯特频率
fs/2 = 500 Hz < f = 800 Hz
最接近的采样率整数倍
k = round(800/1000) = 1
混叠频率
fa = |800 − 1·1000| = 200 Hz
答案
fa = 200 Hz
图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。
6.数据采集与采样
答案: fmax = 218.2 Hz
UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。
线路上每个采样点的位数
2·11 = 22 bit
最高采样率
fs,max = 9600/22 = 436.4 Hz
奈奎斯特极限
fmax = 436.4/2 = 218.2 Hz
答案
fmax = 218.2 Hz
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