数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −41。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −418 bit
U =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 1024 × 768 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
1024 × 768 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = 1，I₂ = C′，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。
I₀ = C′I₁ = 1I₂ = C′I₃ = 0
N =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
模 12 计数器由最少个数的触发器构成。可能的状态中有多少个 U 从未被用到？
N = 12
U =
5.数据采集与采样中等
一个 67.5 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 50 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。
f = 67.5 kHzfs = 50 kHz
fa = kHz
6.数据采集与采样困难
一个时钟为 4 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 fclk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 38400 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。
fclk = 4 MHz目标 = 38400 Bd
e = %
3溶液
1.数制
答案: U = 215
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
41 = 0010 1001
取反后: 1101 0110
+1 → 1101 0111
按无符号数读取
1101 0111₂ = 256 − 41 = 215
答案
U = 215
2.数制
答案: M = 768 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
1024·768·8 = 6291456 bit = 786432 B
换算为 KiB
786432/1024 = 768 KiB
答案
M = 768 KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。
输出表达式
F = A′B′C′ + A′B + AB′C′
F = 1 的行
ABC = 000, 010, 011, 100
N = 4
答案
N = 4
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: U = 4
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
触发器的个数
2ⁿ ≥ 12 → n = 4 (2⁴ = 16)
未使用的状态
U = 16 − 12 = 4
答案
U = 4
5.数据采集与采样
答案: fa = 17.5 kHz
采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。
奈奎斯特频率
fs/2 = 25 kHz < f = 67.5 kHz
最接近的采样率整数倍
k = round(67.5/50) = 1
混叠频率
fa = |67.5 − 1·50| = 17.5 kHz
答案
fa = 17.5 kHz
图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。
6.数据采集与采样
答案: e = −6.994 %
UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。
分频系数
D = 4·10⁶/(16·38400) = 6.51 → 7
实际波特率
4·10⁶/(16·7) = 35714 Bd
误差
(35714 − 38400)/38400·100 = −6.994 %
答案
e = −6.994 %
误差超过约 2 % 会使链路不可靠：请选择另一个时钟或波特率。
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