数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1111 0111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1111 01118 bit
N =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 1920 × 1080 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
1920 × 1080 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = ABC′ + AC + AB + A′C 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = ABC′ + AC + AB + A′C
L =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7, 8, 11, 14) + d(5, 13) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7, 8, 11, 14) + d(5, 13)
L =
5.数据采集与采样中等
求 14 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。
N = 14
SQNR = dB
6.数据采集与采样困难
一个 2 通道的多路复用器为一个 ADC 供给信号。每次转换需要 5 µs，每次切换通道后输入还需要 5 µs 建立。各通道不间断地依次扫描。求每个通道的采样率 fs，单位 kHz。
n = 2tc = 5 µstset = 5 µs
fs = kHz
3溶液
1.数制
答案: N = −9
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = −9
答案
N = −9
2.数制
答案: M = 8100 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
1920·1080·32 = 66355200 bit = 8294400 B
换算为 KiB
8294400/1024 = 8100 KiB
答案
M = 8100 KiB
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 3
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
ABC′ → m(6)
AC → m(5, 7)
AB → m(6, 7)
A′C → m(1, 3)
圈组并读出结果
F = C + AB
数出文字个数
L = 3
答案
L = 3
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 20
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′D′, A′C′D, A′B′D′, A′BD, A′B′C′, AB′CD, ABCD′
最小覆盖
F = B′C′D′ + A′C′D + A′B′D′ + A′BD + AB′CD + ABCD′
L = 20
答案
L = 20
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
5.数据采集与采样
答案: SQNR = 86.04 dB
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
理想 SQNR
SQNR = 6.02·14 + 1.76 = 86.04 dB
答案
SQNR = 86.04 dB
6.数据采集与采样
答案: fs = 50 kHz
数据速率：每个通道每秒提供 fs 个 N 位的采样，因此原始速率为 通道数 × fs × N bit/s。在内存中一个采样占用整数个字节（12 位采样存为 2 个字节），因此一段记录的内存为 通道数 × fs × 每个采样的字节数 × 时间。多路复用 ADC 依次转换各通道：每次转换（含建立时间）需要 t，所以 n 个通道转一轮需要 n·t，每个通道的采样频率为 1/(n·t)。
每个通道的时间
5 + 5 = 10 µs
每次扫描的时间
2·10 = 20 µs
每个通道的采样率
fs = 1/20 µs = 50 kHz
答案
fs = 50 kHz
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