数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −74。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −748 bit
U =
2.数制困难
某系统要为 4437 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
4437
b = bit
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？
F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
N =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个 4 位移位寄存器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 中存有 1100。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀，Q₀ 丢失），串行输入进入 Q₃。串行输入在 4 个边沿处为 0, 1, 1, 1。给出最终状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 11000, 1, 1, 1
Q =
5.数据采集与采样中等
一个 6 kHz 的正弦波在没有抗混叠滤波器的情况下以 10 kHz 采样。它在采样中出现在哪个频率 fa？以 kHz 给出。
f = 6 kHzfs = 10 kHz
fa = kHz
6.数据采集与采样困难
一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 75 dB。求 ADC 的最小位数 N。
SQNR ≥ 75 dB
N =
3溶液
1.数制
答案: U = 182
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
74 = 0100 1010
取反后: 1011 0101
+1 → 1011 0110
按无符号数读取
1011 0110₂ = 256 − 74 = 182
答案
U = 182
2.数制
答案: b = 13 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
212 = 4096 < 4437
213 = 8192 ≥ 4437
答案
b = 13
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 3
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 0
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
(B + C + D)
(A + C + D′)
(A + B′ + D′)
最简 POS 形式
F = (B + C + D)(A + C + D′)(A + B′ + D′)
N = 3
答案
N = 3
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: Q = 14
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的状态
1100 → 0110 → 1011 → 1101 → 1110
十进制值
1110₂ = 14
答案
Q = 14
5.数据采集与采样
答案: fa = 4 kHz
采样：ADC 每秒测量信号 fs 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < fs/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 fa = |f − k·fs|，其中整数 k 使结果落在 0 到 fs/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 fs/2 以上的全部成分。
奈奎斯特频率
fs/2 = 5 kHz < f = 6 kHz
最接近的采样率整数倍
k = round(6/10) = 1
混叠频率
fa = |6 − 1·10| = 4 kHz
答案
fa = 4 kHz
图中的虚线曲线就是混叠：它恰好通过相同的采样点。
6.数据采集与采样
答案: N = 13
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
解出 N
N ≥ (75 − 1.76)/6.02 = 12.17
向上取整
N = 13
校核: 6.02·13 + 1.76 = 80.02 dB ≥ 75 dB
答案
N = 13
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