数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −14。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −148 bit
U =
2.数制困难
某系统要为 2504 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
2504
b = bit
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = AC + ABC + A′BC′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = AC + ABC + A′BC′
L =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？
Q₀ = 0D
N =
5.数据采集与采样中等
一条 UART 以 4800 波特、8E1 格式发送字节：8 个数据位、一个偶校验位和 1 个停止位，外加起始位。求它每秒最多能传输多少个数据字节。
baud = 4800 Bd8E1
RB = B/s
6.数据采集与采样困难
一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 5 倍后送入量程为 0 到 5 V 的 12 位 ADC（1 LSB = VFSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔTLSB。
S = 10 mV/°CG = 5N = 12VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
3溶液
1.数制
答案: U = 242
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
14 = 0000 1110
取反后: 1111 0001
+1 → 1111 0010
按无符号数读取
1111 0010₂ = 256 − 14 = 242
答案
U = 242
2.数制
答案: b = 12 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
211 = 2048 < 2504
212 = 4096 ≥ 2504
答案
b = 12
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 5
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
AC → m(5, 7)
ABC → m(7)
A′BC′ → m(2)
圈组并读出结果
F = AC + A′BC′
数出文字个数
L = 5
答案
L = 5
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 5
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的 Q
D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。
1: D = 0 → Q = 0
2: D = 1 → Q = 1
3: D = 0 → Q = 0
4: D = 1 → Q = 1
5: D = 0 → Q = 0
6: D = 1 → Q = 1
数出变化的次数
0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 1
N = 5
答案
N = 5
5.数据采集与采样
答案: RB = 436.4 B/s
UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 Tb = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = fclk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。
每帧位数
1 + 8 + 1 + 1 = 11
字节速率
4800/11 = 436.4 B/s
答案
RB = 436.4 B/s
6.数据采集与采样
答案: ΔTLSB = 0.02441 °C
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
步长
1 LSB = 5000/4096 = 1.221 mV
ADC 处的灵敏度
10·5 = 50 mV/°C
温度分辨率
ΔTLSB = 1.221/50 = 0.02441 °C
答案
ΔTLSB = 0.02441 °C
ADC 在 100 °C 时达到满量程。
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