数字电子技术：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −44。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −448 bit

U =

2.数制困难

一幅未压缩图像为 1280 × 720 像素，每像素 16 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(3, 4, 5, 6, 7) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C) = Σm(3, 4, 5, 6, 7)

N =

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 10, 11, 12, 15) + d(5, 7, 9, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 6, 10, 11, 12, 15) + d(5, 7, 9, 14)

L =

5.数据采集与采样中等

一个传感器在 120 °C 的量程内测量温度，其输出充满 ADC 的整个输入范围。读数必须分辨出 0.25 °C。求 ADC 所需的最小位数 N。

量程 = 120 °C分辨率 = 0.25 °C

N =

6.数据采集与采样困难

一个温度传感器给出 10 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 5 倍后送入量程为 0 到 3.3 V 的 10 位 ADC（1 LSB = V_FSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔT_LSB。

S = 10 mV/°CG = 5N = 10V_FSR = 3.3 V

ΔT_LSB = °C

3溶液

1.数制

答案: U = 212

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

44 = 0010 1100

取反后: 1101 0011

+1 → 1101 0100

按无符号数读取

1101 0100₂ = 256 − 44 = 212

答案

U = 212

2.数制

答案: M = 1800 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

换算为 KiB

1843200/1024 = 1800 KiB

答案

M = 1800 KiB

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(A + C)

(A + B)

最简 POS 形式

F = (A + C)(A + B)

N = 2

答案

N = 2

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD′, BD′, BC, AC, A′B, AB′D

最小覆盖

F = CD′ + BD′ + AC

L = 6

答案

L = 6

5.数据采集与采样

答案: N = 9

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

所需台阶数

120/0.25 = 480

位数

log₂(480) = 8.907

2⁸ = 256 < 480 ≤ 2⁹ = 512

N = 9

答案

N = 9

6.数据采集与采样

答案: ΔT_LSB = 0.06445 °C

步长

1 LSB = 3300/1024 = 3.223 mV

ADC 处的灵敏度

10·5 = 50 mV/°C

温度分辨率

ΔT_LSB = 3.223/50 = 0.06445 °C

答案

ΔT_LSB = 0.06445 °C

ADC 在 66 °C 时达到满量程。

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