数字电子技术：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1010 1001 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1010 10018 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1010 0111 AND 1010 1100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1010 0111AND1010 1100

R =

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = B′C′ + B′C + AB′ + ABC′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = B′C′ + B′C + AB′ + ABC′

L =

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 7, 11, 14) + d(4, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 7, 11, 14) + d(4, 15)

L =

5.数据采集与采样中等

一个输入量程为 0 到 3.3 V 的 10 位 ADC 采用截断：其输出码为 ⌊V_in/LSB⌋，其中 1 LSB = V_FSR/2ᴺ。求输入 1.069 V 时的十进制输出码 D。

N = 10V_FSR = 3.3 VV_in = 1.069 V

D =

6.数据采集与采样困难

一个时钟为 4 MHz 的微控制器把其 UART 波特率设为 f_clk/(16·D)，其中 D 是四舍五入到最接近值的整数。目标是 57600 波特。求实际波特率的百分比误差（偏快时为正）。

f_clk = 4 MHz目标 = 57600 Bd

e = %

3溶液

1.数制

答案: N = −87

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 32 + 8 + 1 = −87

答案

N = −87

2.数制

答案: R = 164

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

1010 0111

AND 1010 1100

= 1010 0100

结果的值

1010 0100₂ = 164

答案

R = 164

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

B′C′ → m(0, 4)

B′C → m(1, 5)

AB′ → m(4, 5)

ABC′ → m(6)

圈组并读出结果

F = B′ + AC′

数出文字个数

L = 3

答案

L = 3

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BCD, A′C′, ACD, A′B′D′, A′BD, ABC

最小覆盖

F = BCD + A′C′ + ACD + A′B′D′ + ABC

L = 14

答案

L = 14

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

5.数据采集与采样

答案: D = 331

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 3.3/2¹⁰ = 3.223 mV

码值

V_in/LSB = 1069/3.223 = 331.7

码值 = ⌊331.7⌋ = 331

答案

D = 331

用二进制表示是 0101001011。

6.数据采集与采样

答案: e = 8.507 %

UART：异步串行链路把每个字节作为一帧发送：一个起始位（低电平）、若干数据位、一个可选的校验位以及一个或两个停止位（高电平）。波特率是每秒的位数，所以一位持续 T_b = 1/波特率，n 位的一帧持续 n/波特率。常见的 8N1 格式每个字节占 10 位。波特率发生器对时钟分频：波特率 = f_clk/(16·D)，其中 D 为整数，因此实际波特率与目标值略有差别；误差在约 2 % 以内通常可以接受。

分频系数

D = 4·10⁶/(16·57600) = 4.34 → 4

实际波特率

4·10⁶/(16·4) = 62500 Bd

误差

(62500 − 57600)/57600·100 = 8.507 %

答案

e = 8.507 %

误差超过约 2 % 会使链路不可靠：请选择另一个时钟或波特率。

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