数字电子技术：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −64。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −648 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1110 1011 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1110 1011<< 2

R =

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = AB′C′ + A′BC′ + AB′ + A′B′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = AB′C′ + A′BC′ + AB′ + A′B′

L =

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0D

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6
7时钟边沿 7
8时钟边沿 8

5.数据采集与采样中等

一个输入量程为 0 到 2.5 V 的 10 位 ADC 采用截断：其输出码为 ⌊V_in/LSB⌋，其中 1 LSB = V_FSR/2ᴺ。求输入 2.309 V 时的十进制输出码 D。

N = 10V_FSR = 2.5 VV_in = 2.309 V

D =

6.数据采集与采样困难

一个温度传感器给出 5 mV/°C（0 °C 时为 0 V）。其信号被放大 10 倍后送入量程为 0 到 3.3 V 的 10 位 ADC（1 LSB = V_FSR/2ᴺ）。求对应一个 LSB 的温度变化 ΔT_LSB。

S = 5 mV/°CG = 10N = 10V_FSR = 3.3 V

ΔT_LSB = °C

3溶液

1.数制

答案: U = 192

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

64 = 0100 0000

取反后: 1011 1111

+1 → 1100 0000

按无符号数读取

1100 0000₂ = 256 − 64 = 192

答案

U = 192

2.数制

答案: R = 172

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1110 1011 << 2

= 1010 1100

结果的值

1010 1100₂ = 172

答案

R = 172

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 3

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

AB′C′ → m(4)

A′BC′ → m(2)

AB′ → m(4, 5)

A′B′ → m(0, 1)

圈组并读出结果

F = B′ + A′C′

数出文字个数

L = 3

答案

L = 3

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 8

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 1 → Q = 1

8: D = 0 → Q = 0

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 8

答案

时钟边沿 8

5.数据采集与采样

答案: D = 945

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

步长

1 LSB = 2.5/2¹⁰ = 2.441 mV

码值

V_in/LSB = 2309/2.441 = 945.8

码值 = ⌊945.8⌋ = 945

答案

D = 945

用二进制表示是 1110110001。

6.数据采集与采样

答案: ΔT_LSB = 0.06445 °C

步长

1 LSB = 3300/1024 = 3.223 mV

ADC 处的灵敏度

5·10 = 50 mV/°C

温度分辨率

ΔT_LSB = 3.223/50 = 0.06445 °C

答案

ΔT_LSB = 0.06445 °C

ADC 在 66 °C 时达到满量程。

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics