数字电子技术：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数据采集与采样

奈奎斯特准则: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
混叠频率: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
步长: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
量化误差（四舍五入）: ±½ LSB
截断式 ADC 码值: D = ⌊V_in/LSB⌋
分辨率 r 所需的位数: 2ᴺ ≥ span/r
理想 SQNR，满量程正弦波: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
数据速率: 通道数 × f_s × N 比特/秒
多路复用 ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
波特率分频器: baud = f_clk/(16·D)

方法

先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
采样类题目，把每个频率与 f_s/2 比较；更高的频率会出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中取最接近的 f_s 整数倍。
分辨率类题目，求 1 LSB = V_FSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率的最小 N。
数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −93。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −938 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 3041 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

3041

b = bit

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′BC + AB′C′ + AC + A′B 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′BC + AB′C′ + AC + A′B

L =

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 6, 7, 14) + d(0, 2, 3, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 6, 7, 14) + d(0, 2, 3, 15)

N =

5.数据采集与采样中等

求 20 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。

N = 20

SQNR = dB

6.数据采集与采样困难

一个 9 kHz 方波在没有抗混叠滤波器的情况下以 20 kHz 采样。方波含有奇次谐波 3f₁、5f₁、7f₁、…… 它的谐波 3f₁ 在采样数据中出现在哪个频率 f_a？以 kHz 给出。

f₁ = 9 kHzf_s = 20 kHz谐波: 3f₁

f_a = kHz

3溶液

1.数制

答案: U = 163

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

93 = 0101 1101

取反后: 1010 0010

+1 → 1010 0011

按无符号数读取

1010 0011₂ = 256 − 93 = 163

答案

U = 163

2.数制

答案: b = 12 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 3041

2¹² = 4096 ≥ 3041

答案

b = 12

3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′BC → m(3)

AB′C′ → m(4)

AC → m(5, 7)

A′B → m(2, 3)

圈组并读出结果

F = BC + A′B + AB′

数出文字个数

L = 6

答案

L = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的文字数相同。

4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC, A′D′, A′C, A′B

必要质蕴涵项

BC, A′B

N = 2

答案

N = 2

5.数据采集与采样

答案: SQNR = 122.2 dB

ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 V_FSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = V_FSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊V_in/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。

理想 SQNR

SQNR = 6.02·20 + 1.76 = 122.2 dB

答案

SQNR = 122.2 dB

6.数据采集与采样

答案: f_a = 7 kHz

采样：ADC 每秒测量信号 f_s 次。根据奈奎斯特–香农定理，只有当 f < f_s/2（奈奎斯特频率，也称折叠频率）时，频率 f 才能被正确采集，因此采样率必须超过最高信号频率的两倍。更高的频率不会丢失：它会作为混叠出现在 f_a = |f − k·f_s|，其中整数 k 使结果落在 0 到 f_s/2 之间。采样点无法区分二者，因此必须在 ADC 之前用模拟抗混叠滤波器滤除 f_s/2 以上的全部成分。

谐波频率

3f₁ = 3·9 kHz = 27 kHz

最接近的采样率整数倍

m = round(1.35) = 1

混叠频率

f_a = |27 − 1·20| = 7 kHz

答案

f_a = 7 kHz

混叠落在信号频带内，任何数字滤波器都无法去除它。只有在 ADC 之前使用模拟滤波器才有帮助。

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