数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
数字电子技术：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数据采集与采样
- 奈奎斯特准则
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- 混叠频率
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- 步长
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- 量化误差（四舍五入）
- ±½ LSB
- 截断式 ADC 码值
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- 分辨率 r 所需的位数
- 2ᴺ ≥ span/r
- 理想 SQNR，满量程正弦波
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- 数据速率
- 通道数 × fs × N 比特/秒
- 多路复用 ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/波特率；8N1 = 每字节 10 位；字节/秒 = 波特率/每帧位数
- 波特率分频器
- baud = fclk/(16·D)
方法
- 先写出已知量：采样率、信号频率、位数、输入量程、波特率。
- 采样类题目，把每个频率与 fs/2 比较；更高的频率会出现在 fa = |f − k·fs|，其中取最接近的 fs 整数倍。
- 分辨率类题目，求 1 LSB = VFSR/2ᴺ，或求满足 2ᴺ ≥ 量程/分辨率 的最小 N。
- 数据速率和 UART 链路类题目，要数清所有发送的内容：通道数、每秒采样数、每个采样的位数或整字节数，以及每帧的起始位、校验位和停止位。
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −106。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −1068 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1001 1111 XOR 0010 1111 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1001 1111XOR0010 1111
R =
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 7)
L =
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 7, 8, 9) + d(0, 2, 3)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。
F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 7, 8, 9) + d(0, 2, 3)
N =
5.数据采集与采样中等
求 8 位 ADC 在满量程正弦波下的理想信号量化噪声比 SQNR。
N = 8
SQNR = dB
6.数据采集与采样困难
一项音频测量要求满量程正弦波的理想信号量化噪声比至少为 75 dB。求 ADC 的最小位数 N。
SQNR ≥ 75 dB
N =
3溶液
1.数制
答案: U = 150
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
106 = 0110 1010
取反后: 1001 0101
+1 → 1001 0110
按无符号数读取
1001 0110₂ = 256 − 106 = 150
答案
U = 150
2.数制
答案: R = 176
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
XOR 在两位不同时得 1。
1001 1111
XOR 0010 1111
= 1011 0000
结果的值
1011 0000₂ = 176
答案
R = 176
3.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 7
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′C′
A′C′
ABC
最简 SOP 形式
F = B′C′ + A′C′ + ABC
L = 7
答案
L = 7
4.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 3
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′, A′D, A′C′, A′B′
必要质蕴涵项
B′C′, A′D, A′C′
N = 3
答案
N = 3
5.数据采集与采样
答案: SQNR = 49.92 dB
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
理想 SQNR
SQNR = 6.02·8 + 1.76 = 49.92 dB
答案
SQNR = 49.92 dB
6.数据采集与采样
答案: N = 13
ADC 分辨率：N 位转换器把满量程 VFSR 分成 2ᴺ 个码，从 0 到 2ᴺ − 1。一个台阶为 1 LSB = VFSR/2ᴺ：转换器能显示的最小变化。截断式 ADC 给出码 ⌊Vin/LSB⌋；四舍五入式 ADC 与真实值的偏差永远不超过 ½ LSB，即它的量化误差。每增加一位，LSB 减半，对满量程正弦波而言，理想信号量化噪声比 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB 约增加 6 dB。要在量程内达到分辨率 r，选取满足 2ᴺ ≥ 量程/r 的最小 N。
解出 N
N ≥ (75 − 1.76)/6.02 = 12.17
向上取整
N = 13
校核: 6.02·13 + 1.76 = 80.02 dB ≥ 75 dB
答案
N = 13
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