动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 35 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 35 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 95 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 8 kgF = 95 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 60°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.8 kg 的球系在长 0.6 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.8 kgr = 0.6 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 17 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 195 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 10 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 195 Nθ = 25°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 14 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 1300 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1100 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 10 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 10 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 9.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 15.5 kg、半径为 0.5 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 9.5 kgM = 15.5 kgR = 0.5 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个质量为 3 kg 的实心球以 3 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 3 kgv = 3 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 360 mm。须用一对模数为 5 mm、减速比为 5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 360 mmm = 5 mmi = 5

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

一台 1.5 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（60 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（16 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（40 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 T_out。

P = 1.5 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 60C = 16D = 40η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 3.09 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.9 mT = 3.09 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.6 s，振幅为 6 cm。它从平衡位置运动到位移 2.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.6 sA = 6 cmx = 2.4 cm

t = s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 4 个周期出现峰值 9.1 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 25 mmx₄ = 9.1 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 12 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 408.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/6 = 11.67 s

距离

d = v·t = 35·11.67 = 408.3 m

答案

d = 408.3 m

此时警车的速度为 2v = 70 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 485.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 84²/(2·9.81) = 359.6 m

h_max = 126 + 359.6 = 485.6 m

答案

h_max = 485.6 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.206 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答案

a = 3.206 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 7.047 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 24.53)/10 = 7.047 m/s²

答案

a = 7.047 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 5.297 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s

答案

t = 5.297 s

6.抛体运动

答案: H = 52.49 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 14·sin 60° = 12.12 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 12.12²/(2·9.81) = 7.492 m

离地面的高度

H = 45 + 7.492 = 52.49 m

答案

H = 52.49 m

7.圆周运动

答案: v_max = 26.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·90) = 26.58 m/s

答案

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 81.09 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·0.6 = 66.71 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·66.71/0.6 − 0.8·9.81 = 81.09 N

答案

T_top = 81.09 N

9.功和能

答案: W_f = 113.4 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.15·44.45 = 6.668 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.668·17 = 113.4 J

答案

W_f = 113.4 J

10.功和能

答案: v = 7.664 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 82.92 N

μ·mg·cos θ = 53.35 N

功–能关系

½mv² = (195 − 136.3)·10 = 587.4 J

v = √(2·587.4/20) = 7.664 m/s

答案

v = 7.664 m/s

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 58392 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·14/2400 = 6.417 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·14² = 107800 J

K_after = ½·2400·6.417² = 49408 J

损失的能量

ΔK = 107800 − 49408 = 58392 J

答案

ΔK = 58392 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 8.75 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(15 + 10) = 8.75 N·s

答案

J = 8.75 N·s

13.刚体转动

答案: a = 5.403 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 9.5·9.81/(9.5 + 7.75) = 5.403 m/s²

答案

a = 5.403 m/s²

14.刚体转动

答案: E_k = 18.9 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·3·3² = 13.5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·13.5 = 5.4 J

合计

E_k = 13.5 + 5.4 = 18.9 J

答案

E_k = 18.9 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 120

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·360/5 = 144

按传动比分配

N₁ = 144/(1 + 5) = 24

N₂ = 5·24 = 120

答案

N₂ = 120

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 44.58 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 2900·(15/60)·(16/40) = 290 rpm

ω_out = 2π·290/60 = 30.37 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 1500·0.95² = 1354 W

T_out = P_out/ω_out = 1354/30.37 = 44.58 N·m

答案

T_out = 44.58 N·m

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.721 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.9/3.09² = 3.721 m/s²

答案

g = 3.721 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.1048 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.6 = 3.927 rad/s

求解时间

0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad

t = 0.4115/3.927 = 0.1048 s

答案

t = 0.1048 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.04018

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(25/9.1) = 0.2527

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2527/√(39.48 + 0.06383) = 0.04018

答案

ζ = 0.04018

20.机械振动

答案: k_eq = 42 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 30 + 12 = 42 kN/m

答案

k_eq = 42 kN/m

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