动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 72 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 55 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 55 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 1.5 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 11 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 0.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 17 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 0.5 kgM = 17 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 15° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.1 m。求它沿斜面滚过 1.5 m 后的角速度 ω。

θ = 15°s = 1.5 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.1 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW、转速 960 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 5.5 kWn = 960 rpmN₁ = 20m = 2.5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 600 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 1200 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 1200 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 310 N/m 弹簧上的 3.3 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 3.3 kgk = 310 N/mA = 6 cmx = 4 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 180 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.1 kgk = 180 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 12 kg 的质量块挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 12 kgk = 15 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 50 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

答案

s = 50 m

2.运动学

答案: h_max = 68.37 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 20·1.5 = 30 m/s

h₁ = ½·20·1.5² = 22.5 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 30²/(2·9.81) = 45.87 m

h_max = 22.5 + 45.87 = 68.37 m

答案

h_max = 68.37 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 17.88 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 6.131)/6 = 4.701 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·4.701 + 6.131 = 17.88 N

答案

T = 17.88 N

5.抛体运动

答案: x = 141.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 30° = 34.64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 30° = 20 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·20/9.81 = 4.077 s

水平距离

x = v_x·t = 34.64·4.077 = 141.2 m

答案

x = 141.2 m

6.抛体运动

答案: x = 48.36 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 55° = 12.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 55° = 17.2 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 17.2·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.2 + √(295.9 + 196.2))/9.81 = 4.015 s

水平距离

x = v_x·t = 12.05·4.015 = 48.36 m

答案

x = 48.36 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·55) = 14.69 m/s

答案

v_max = 14.69 m/s (52.89 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 28.67 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.4·9.81 + 1.4·4²/1.5 = 13.73 + 14.93 = 28.67 N

答案

T = 28.67 N

9.功和能

答案: v = 13.22 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 13.22 m/s

答案

v = 13.22 m/s

10.功和能

答案: x = 7.799 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·1.5) = 7.603 J

最大压缩量

½kx² = 7.603 → x = √(2·7.603/2500) = 0.07799 m = 7.799 cm

答案

x = 7.799 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 200.1 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2)·1.981/0.02 = 200.1 m/s

答案

v = 200.1 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 150 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(4 + 11) = 3.75 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.75/0.025 = 150 N

答案

F_avg = 150 N

13.刚体转动

答案: α = 5.45 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 0.5·9.81/(0.5 + 8.5) = 0.545 m/s²

角加速度

α = a/R = 0.545/0.1 = 5.45 rad/s²

答案

α = 5.45 rad/s²

14.刚体转动

答案: ω = 22.53 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1.5·sin 15° = 0.3882 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·0.3882/1.5) = 2.253 m/s

ω = v/r = 2.253/0.1 = 22.53 rad/s

答案

ω = 22.53 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 2188 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 5500/100.5 = 54.71 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2.5·20 = 50 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·54.71/0.05 = 2188 N

答案

F_t = 2188 N

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.922 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.602 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7805 = 2.183, T₂ = 1200/2.183 = 549.8 N

功率

P = (1200 − 549.8)·6.032 = 3.922 kW

答案

P = 3.922 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.4334 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(310/3.3) = 9.692 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.692·√(0.06² − 0.04²) = 0.4334 m/s

答案

v = 0.4334 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 12 m/s²

角频率

ω = √(180/2.1) = 9.258 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.14·9.258² = 12 m/s²

答案

a_max = 12 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 4.873 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(15000/12) = 35.36 rad/s

f_n = 35.36/(2π) = 5.627 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.627·√(1 − 0.5²) = 4.873 Hz

答案

f_d = 4.873 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.055 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 10 = 50 kN/m

k_eq = 50·25/(50 + 25) = 16.67 kN/m

固有频率

ω_n = √(16667/100) = 12.91 rad/s

f_n = 12.91/(2π) = 2.055 Hz

答案

f_n = 2.055 Hz

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