动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 22 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 83 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9 m/sd = 83 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 0.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 13 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 85 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 85 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 90°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 4.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 1.5 kgL = 0.6 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 5.5 kg、长为 2.5 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 5.5 kgL = 2.5 mm_ball = 4 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

质量为 4 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 10 g 的子弹以 280 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.34 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 4 kgL = 0.6 mm = 10 gv = 280 m/sd = 0.34 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 720 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮上。紧边张力为 1200 N，松边张力为 480 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（24 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（45 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 24B = 45C = 25D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 410 N/m 弹簧上的 2.7 kg 物体在无摩擦表面上以 15 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的速度 v。

m = 2.7 kgk = 410 N/mA = 15 cmx = 14 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.5 s，振幅为 19 cm。它从平衡位置运动到位移 13.3 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.5 sA = 19 cmx = 13.3 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 470 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 100 kgk = 25 kN/mc = 470 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 10 kN/m 和 k₂ = 25 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 46.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·3) = 46.3 m

答案

s = 46.3 m

2.运动学

答案: h_max = 321 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 22·3 = 66 m/s

h₁ = ½·22·3² = 99 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 66²/(2·9.81) = 222 m

h_max = 99 + 222 = 321 m

答案

h_max = 321 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.04974

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·83) = 0.488 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.488/9.81 = 0.04974

答案

μ = 0.04974

4.牛顿定律

答案: a = 1.177 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 1.962)/2.5 = 1.177 m/s²

答案

a = 1.177 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 1.67 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.192/9.81 = 1.67 s

答案

t = 1.67 s

6.抛体运动

答案: x = 42.95 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 20° = 12.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 20° = 4.446 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 4.446·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.446 + √(19.77 + 882.9))/9.81 = 3.516 s

水平距离

x = v_x·t = 12.22·3.516 = 42.95 m

答案

x = 42.95 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·85) = 18.26 m/s

答案

v_max = 18.26 m/s (65.75 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.971 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答案

v_min = 2.971 m/s

9.功和能

答案: T = 29.43 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 90°) = 19.62 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·19.62/1 = 29.43 N

答案

T = 29.43 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 29.43 N。

10.功和能

答案: v = 8.663 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.15·4.5) = 187.6 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.825) = 8.663 m/s

答案

v = 8.663 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 615.3 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2)·1.534/0.005 = 615.3 m/s

答案

v = 615.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 253.6 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 20°) = 0.03618 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.03618) = 0.8426 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.505·0.8426/0.005 = 253.6 m/s

答案

v = 253.6 m/s

13.刚体转动

答案: ω = 3.014 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5.5·9.81·1.25 + 4·9.81·2.5 = 165.5 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 11.46 + 25 = 36.46 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 165.5 → ω = √(2·165.5/36.46) = 3.014 rad/s

答案

ω = 3.014 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 1.979 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 4·0.6²/3 + 0.01·0.34² = 0.4812 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.01·280·0.34/0.4812 = 1.979 rad/s

答案

ω = 1.979 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.171 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 3.016 m/s

功率

P = (1200 − 480)·3.016 = 2171 W = 2.171 kW

答案

P = 2.171 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 416.7 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·24/45 = 800 rpm = n_C

第二级

n_out = 800·25/48 = 416.7 rpm

答案

n_out = 416.7 rpm

总传动比 = 3.6 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.6636 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(410/2.7) = 12.32 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 12.32·√(0.15² − 0.14²) = 0.6636 m/s

答案

v = 0.6636 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.4319 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.5 = 1.795 rad/s

求解时间

0.7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.7) = 0.7754 rad

t = 0.7754/1.795 = 0.4319 s

答案

t = 0.4319 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.1486

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·100) = 3162 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 470/3162 = 0.1486

答案

ζ = 0.1486

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 8.104 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 10 + 25 = 35 kN/m

k_eq = 35·100/(35 + 100) = 25.93 kN/m

固有频率

ω_n = √(25926/10) = 50.92 rad/s

f_n = 50.92/(2π) = 8.104 Hz

答案

f_n = 8.104 Hz

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