动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 50 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 50 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 6.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 14 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 14 m/sθ = 60°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 2.2 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 18 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 10 kgh = 18 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 12 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 24 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1300 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

转动惯量为 19 kg·m² 的飞轮以 1200 rpm 转动。制动器施加 5 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 19 kg·m²n = 1200 rpmT_b = 5 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 1 m 后的速度 v。

θ = 10°s = 1 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 80 mm 的带轮以 1440 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 1.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 200 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

一台 7.5 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（36 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（15 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。每对齿轮啮合的效率为 96%。求输出转矩 T_out。

P = 7.5 kWn_in = 2900 rpmA = 15B = 36C = 15D = 48η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 390 N/m 弹簧上的 1.5 kg 物体被沿正方向拉开 9 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.85 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.5 kgk = 390 N/mA = 9 cmt = 0.85 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 3.7 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.7 kgk = 440 N/mA = 20 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块挂在刚度为 25 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.7。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 25 kgk = 25 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 5 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.778 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/4.5 = 2.778 s

答案

t = 2.778 s

2.运动学

答案: h_max = 10.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 5 + 5.097 = 10.1 m

答案

h_max = 10.1 m

3.牛顿定律

答案: F = 352.9 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 315.3 + 37.57 = 352.9 N

答案

F = 352.9 N

4.牛顿定律

答案: T = 39.13 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 31.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (44.15 − 31.88 − 0)/11 = 1.115 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 1.115) = 39.13 N

答案

T = 39.13 N

5.抛体运动

答案: x = 42.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·11/9.81 = 2.243 s

水平距离

x = v_x·t = 19.05·2.243 = 42.73 m

答案

x = 42.73 m

6.抛体运动

答案: H = 57.49 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 14·sin 60° = 12.12 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 12.12²/(2·9.81) = 7.492 m

离地面的高度

H = 50 + 7.492 = 57.49 m

答案

H = 57.49 m

7.圆周运动

答案: ω = 3.855 rad/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·2.2)) = 3.855 rad/s

答案

ω = 3.855 rad/s

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: W_f = 8.528 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9659 = 4.738 N

F = μN = 0.15·4.738 = 0.7107 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 0.7107·12 = 8.528 J

答案

W_f = 8.528 J

10.功和能

答案: v = 14.01 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(18 − 8) = 196.2 m²/s²

v = 14.01 m/s

答案

v = 14.01 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 3.5)/(2.5 + 3.5)·3 = −0.5 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3.5)·3 = 2.5 m/s

答案

v′₂ = 2.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 72 °

动量分量

p_x = 1300·12 = 15600 kg·m/s

p_y = 2000·24 = 48000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 3.077 → θ = 72°

答案

θ = 72°

13.刚体转动

答案: N = 4775 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·19·125.7² = 150018 J

θ = 150018/5 = 30004 rad

圈数

N = θ/2π = 4775 rev

答案

N = 4775 rev

14.刚体转动

答案: v = 1.56 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1·sin 10° = 0.1736 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·0.1736/1.4) = 1.56 m/s

答案

v = 1.56 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 567.4 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1440·80/200 = 576 rpm

有打滑

n₂ = 576·0.985 = 567.4 rpm

答案

n₂ = 567.4 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 174.8 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

输出转速

n_out = 2900·(15/36)·(15/48) = 377.6 rpm

ω_out = 2π·377.6/60 = 39.54 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 7500·0.96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/39.54 = 174.8 N·m

答案

T_out = 174.8 N·m

17.弹簧与单摆

答案: x = 3.763 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(390/1.5) = 16.12 rad/s

ω·t = 16.12·0.85 = 13.71 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(13.71) = 3.763 cm

答案

x = 3.763 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 8.8 J

角频率

ω = √(440/3.7) = 10.9 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·440·0.2² = 8.8 J

答案

E = 8.8 J

19.机械振动

答案: f_d = 3.594 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(25000/25) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.7²) = 3.594 Hz

答案

f_d = 3.594 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 1.524 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 30 = 55 kN/m

k_eq = 55·5/(55 + 5) = 4.583 kN/m

固有频率

ω_n = √(4583/50) = 9.574 rad/s

f_n = 9.574/(2π) = 1.524 Hz

答案

f_n = 1.524 Hz

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