动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 27 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 27 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 30° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 85 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；6 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgF = 85 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 21 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 50°x = 21 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 40 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 16 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 40 m/sθ = 35°h_roof = 16 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 140 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 140 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 0.6 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 20 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.35d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 2 m/s 运动的 3 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1 kgL = 1 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 2.5 kg、长为 0.5 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 1 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 2.5 kgL = 0.5 mm_ball = 1 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 15 kg，半径 0.25 m）绕无摩擦的竖直轴以 350 rpm 自由旋转。一个质量为 3 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 15 kgM_ring = 3 kgR = 0.25 mn₁ = 350 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 15 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 60η = 95%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（12 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（18 齿）。齿轮 C（30 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 12B = 18C = 30D = 36

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 270 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.6 kgk = 270 N/mA = 16 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 5 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 100 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 5 kgk = 50 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 27 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/2 = 27 s

答案

t = 27 s

此时警车的速度为 2v = 54 m/s。

2.运动学

答案: d = 16.81 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 651.7 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·651.7))/(2·4.905) = 1.851 s

深度

d = ½·9.81·1.851² = 16.81 m

答案

d = 16.81 m

3.牛顿定律

答案: F = 57.55 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 49.05 + 8.496 = 57.55 N

答案

F = 57.55 N

4.牛顿定律

答案: T = 56.67 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (85 − 8.829)/9 = 8.463 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(8.463 + 0.981) = 56.67 N

答案

T = 56.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: y = 19.91 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 32·cos 50° = 20.57 m/s

t = x/v_x = 21/20.57 = 1.021 s

此时的高度

y = 24.51·1.021 − ½·9.81·1.021² = 19.91 m

答案

y = 19.91 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 125.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 32.77 m/s, v_y = 22.94 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

16 = 22.94·t − 4.905·t²

t = (22.94 + √(22.94² − 2·9.81·16))/9.81 = 3.825 s

水平距离

x = v_x·t = 32.77·3.825 = 125.3 m

答案

x = 125.3 m

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·140) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 23.3 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·8²/0.6 = 1.962 + 21.33 = 23.3 N

答案

T = 23.3 N

9.功和能

答案: v = 10.61 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.5736 − 0.35·0.8192)) = 10.61 m/s

答案

v = 10.61 m/s

10.功和能

答案: v = 4.852 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.2·1.5) = 47.09 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.2) = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3 − 1.5)/(3 + 1.5)·2 = 0.6667 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1.5)·2 = 2.667 m/s

答案

v′₂ = 2.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 55.14 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 10°) = 0.01519 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.01519) = 0.546 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.01·0.546/0.01 = 55.14 m/s

答案

v = 55.14 m/s

13.刚体转动

答案: ω = 6.94 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2.5·9.81·0.25 + 1·9.81·0.5 = 11.04 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0.2083 + 0.25 = 0.4583 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 11.04 → ω = √(2·11.04/0.4583) = 6.94 rad/s

答案

ω = 6.94 rad/s

14.刚体转动

答案: n₂ = 250 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·15·0.25² = 0.4688 kg·m²

I₂ = 3·0.25² = 0.1875 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 350·0.4688/0.6563 = 250 rpm

答案

n₂ = 250 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 95.49 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m

答案

T₁ = 95.49 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 833.3 rpm

第一级

n_B = 1500·12/18 = 1000 rpm = n_C

第二级

n_out = 1000·30/36 = 833.3 rpm

答案

n_out = 833.3 rpm

总传动比 = 1.8 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.948 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.8/2π)² = 1.948 m

答案

L = 1.948 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 3.456 J

角频率

ω = √(270/1.6) = 12.99 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·270·0.16² = 3.456 J

答案

E = 3.456 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·5) = 1000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 100/1000 = 0.1

答案

ζ = 0.1

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 110 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 60 + 50 = 110 kN/m

答案

k_eq = 110 kN/m

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