动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 7 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 7 sa₃ = −2.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 17 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 40 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 40 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 2 kgr = 0.8 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.4d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 800 N/mx = 12 cmθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 38 m/s 水平运动的 10 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 72 m/s 继续向前运动。求 7 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 10 kgu = 38 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 72 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 14 m/s 向东行驶的 900 kg 汽车与一辆以 9 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 900 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 9 m/s (N)

v′ = m/s

13.刚体转动中等

一个 4 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 14.5 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 4 kgM = 14.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.25 m。求它沿斜面滚过 8.5 m 后的角速度 ω。

θ = 40°s = 8.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.25 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 1440 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 95%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 72η = 95%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 11 kW、2900 rpm 的电动机驱动齿轮 A（48 齿），A 与齿轮 B（72 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（20 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 T_out。

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 48B = 72C = 20D = 48η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 160 N/m 弹簧上的 1.8 kg 物体被沿正方向拉开 13 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.35 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.8 kgk = 160 N/mA = 13 cmt = 1.35 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 190 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的动能 K。

k = 190 N/mA = 7 cmx = 5 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 8 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 50 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 8 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 26.04 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3) = 26.04 m

答案

s = 26.04 m

2.运动学

答案: s = 191.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·9 = 13.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·9² = 60.75 m

s₂ = 13.5·7 = 94.5 m

s₃ = 13.5²/(2·2.5) = 36.45 m

总距离

s = 60.75 + 94.5 + 36.45 = 191.7 m

答案

s = 191.7 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.803 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答案

a = 4.803 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.472 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 25.02)/13 = 1.472 m/s²

答案

a = 1.472 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 30.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 24.51²/(2·9.81) = 30.63 m

答案

H = 30.63 m

6.抛体运动

答案: α = 74.97 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 60° = 8.5 m/s

v_y0 = 17·sin 60° = 14.72 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14.72² + 2·9.81·40) = 31.65 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 31.65/8.5 → α = 74.97°

答案

α = 74.97°

7.圆周运动

答案: v_max = 10.85 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·40) = 10.85 m/s

答案

v_max = 10.85 m/s (39.06 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 82.52 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.8 = 40.86 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·40.86/0.8 − 2·9.81 = 82.52 N

答案

T_top = 82.52 N

9.功和能

答案: W_f = 76.46 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.4·21.24 = 8.496 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.496·9 = 76.46 J

答案

W_f = 76.46 J

10.功和能

答案: d = 0.7166 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·800·0.12² = 5.76 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.76/(9.81·(0.5736 + 0.3·0.8192)) = 0.7166 m

答案

d = 0.7166 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 23.43 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 10·38 = 380 kg·m/s

碰撞后的动量

380 = 3·72 + 7·v′₂

v′₂ = (380 − 216)/7 = 23.43 m/s

答案

v′₂ = 23.43 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 7.576 m/s

动量分量

p_x = 900·14 = 12600 kg·m/s

p_y = 2000·9 = 18000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 21972/2900 = 7.576 m/s

答案

v′ = 7.576 m/s

13.刚体转动

答案: α = 34.88 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 4·9.81/(4 + 7.25) = 3.488 m/s²

角加速度

α = a/R = 3.488/0.1 = 34.88 rad/s²

答案

α = 34.88 rad/s²

14.刚体转动

答案: ω = 35 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 8.5·sin 40° = 5.464 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·5.464/1.4) = 8.75 m/s

ω = v/r = 8.75/0.25 = 35 rad/s

答案

ω = 35 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 166.3 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150.8 = 72.95 N·m

输出扭矩

T₂ = 72.95·72/30·0.95 = 166.3 N·m

答案

T₂ = 166.3 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 117.7 N·m

输出转速

n_out = 2900·(48/72)·(20/48) = 805.6 rpm

ω_out = 2π·805.6/60 = 84.36 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 11000·0.95² = 9928 W

T_out = P_out/ω_out = 9928/84.36 = 117.7 N·m

答案

T_out = 117.7 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = −0.1971 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/1.8) = 9.428 rad/s

ω·t = 9.428·1.35 = 12.73 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·9.428·sin(12.73) = −0.1971 m/s

答案

v = −0.1971 m/s

18.弹簧与单摆

答案: K = 0.228 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·190·0.07² = 0.4655 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·190·0.05² = 0.2375 J

动能

K = 0.4655 − 0.2375 = 0.228 J

答案

K = 0.228 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.09882

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·8) = 506 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 50/506 = 0.09882

答案

ζ = 0.09882

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 14.24 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 40 + 40 = 80 kN/m

固有频率

ω_n = √(80000/10) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

答案

f_n = 14.24 Hz

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