动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 2300 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 2300 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 18 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 18 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 29 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 29 m/sθ = 45°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 7 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 7 m/sr = 25 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 60 mθ = 25°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 400 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 45 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 3 m 后的速度 v。

m = 5 kgF = 45 Nθ = 20°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 24 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 3 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 3.5 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 5 m 后的速度 v。

m = 3 kgM = 3.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²h = 5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 35°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1440 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 150 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 600 NT₂ = 150 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（36 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 16B = 72C = 18D = 36

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 110 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.25 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.4 kgk = 110 N/mA = 14 cmt = 0.25 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 0.5 kg 的物体连在 k = 230 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.5 kgk = 230 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 100 kg 的质量块挂在刚度为 25 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 100 kgk = 25 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 60 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.5435 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·2300) = 0.5435 m/s²

答案

a = 0.5435 m/s²

2.运动学

答案: t = 4.37 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.37 s

答案

t = 4.37 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.204 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 3)·9.81/(7.5 + 3) = 4.204 m/s²

答案

a = 4.204 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 5.314 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 2.453)/6 = 5.314 m/s²

答案

a = 5.314 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 117.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 45° = 24.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 45° = 24.04 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·24.04/9.81 = 4.901 s

水平距离

x = v_x·t = 24.04·4.901 = 117.8 m

答案

x = 117.8 m

6.抛体运动

答案: x = 76.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 20.51 m/s, v_y = 20.51 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 20.51·t − 4.905·t²

t = (20.51 + √(20.51² − 2·9.81·8))/9.81 = 3.745 s

水平距离

x = v_x·t = 20.51·3.745 = 76.8 m

答案

x = 76.8 m

7.圆周运动

答案: N = 13345 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·7²/25 = 16677 − 3332 = 13345 N

答案

N = 13345 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_min = 14.35 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.332/0.9486) = 14.35 m/s

答案

v_min = 14.35 m/s

(51.67 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.8155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·400·0.1² = 2 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 2/2.453 = 0.8155 m

答案

h = 0.8155 m

10.功和能

答案: v = 4.776 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 16.78 N

μ·mg·cos θ = 9.218 N

功–能关系

½mv² = (45 − 25.99)·3 = 57.02 J

v = √(2·57.02/5) = 4.776 m/s

答案

v = 4.776 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12.94 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 3.5)/(5 + 3.5)·11 = 1.941 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3.5)·11 = 12.94 m/s

答案

v′₂ = 12.94 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 185 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(13 + 24) = 9.25 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 9.25/0.05 = 185 N

答案

F_avg = 185 N

13.刚体转动

答案: v = 7.871 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 3·9.81/(3 + 1.75) = 6.196 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·6.196·5) = 7.871 m/s

答案

v = 7.871 m/s

14.刚体转动

答案: a = 3.376 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 35°/1.667 = 3.376 m/s²

答案

a = 3.376 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.241 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.425 m/s

功率

P = (600 − 150)·9.425 = 4241 W = 4.241 kW

答案

P = 4.241 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 161.1 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1450·16/72 = 322.2 rpm = n_C

第二级

n_out = 322.2·18/36 = 161.1 rpm

答案

n_out = 161.1 rpm

总传动比 = 9 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = 2.076 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(110/3.4) = 5.688 rad/s

ω·t = 5.688·0.25 = 1.422 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(1.422) = 2.076 cm

答案

x = 2.076 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.359 m/s

角频率

ω = √(230/0.5) = 21.45 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.11·21.45 = 2.359 m/s

答案

v_max = 2.359 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 2.357 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(25000/100) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.35²) = 2.357 Hz

答案

f_d = 2.357 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 7.549 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 60 + 30 = 90 kN/m

固有频率

ω_n = √(90000/40) = 47.43 rad/s

f_n = 47.43/(2π) = 7.549 Hz

答案

f_n = 7.549 Hz

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