动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 25° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 25 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 45° 的角度抛出，落在 105 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 45°R = 105 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.6 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.6 kgr = 1.2 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 30°μ = 0.1d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 1.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 18 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 18 m/sv_out = 11 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 2 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 14.5 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 2 kgM = 14.5 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 13 kg，半径 0.2 m）绕无摩擦的竖直轴以 550 rpm 自由旋转。一个质量为 9 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 13 kgM_ring = 9 kgR = 0.2 mn₁ = 550 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 400 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1440 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（40 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1440 rpmA = 36B = 72C = 40D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.8 kg 的物体连在 k = 270 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 18 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.8 kgk = 270 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 2 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.6。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 25 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 70.55 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3.5) = 70.55 m

答案

s = 70.55 m

2.运动学

答案: d = 33.24 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 926.1 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·926.1))/(2·4.905) = 2.603 s

深度

d = ½·9.81·2.603² = 33.24 m

答案

d = 33.24 m

3.牛顿定律

答案: F = 125.9 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 103.6 + 22.23 = 125.9 N

答案

F = 125.9 N

4.牛顿定律

答案: a = 1.249 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 15.7)/11 = 1.249 m/s²

答案

a = 1.249 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 32.09 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·105/sin 90°) = 32.09 m/s

答案

v₀ = 32.09 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.286 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12.86 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 12.86·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.86 + √(165.3 + 686.7))/9.81 = 4.286 s

答案

t = 4.286 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.29 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·60) = 13.29 m/s

答案

v_max = 13.29 m/s (47.84 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 37.89 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·8²/1.2 = 5.886 + 32 = 37.89 N

答案

T = 37.89 N

9.功和能

答案: v = 12.08 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.5 − 0.1·0.866)) = 12.08 m/s

答案

v = 12.08 m/s

10.功和能

答案: x = 14.15 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(1.5 − 0.15·1.5) = 25.02 J

最大压缩量

½kx² = 25.02 → x = √(2·25.02/2500) = 0.1415 m = 14.15 cm

答案

x = 14.15 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.75 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 3.5)/(4.5 + 3.5)·6 = 0.75 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 3.5)·6 = 6.75 m/s

答案

v′₂ = 6.75 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 11.6 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(11 + 18) = 11.6 N·s

答案

J = 11.6 N·s

13.刚体转动

答案: a = 2.121 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 2·9.81/(2 + 7.25) = 2.121 m/s²

答案

a = 2.121 m/s²

14.刚体转动

答案: n₂ = 230.6 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·13·0.2² = 0.26 kg·m²

I₂ = 9·0.2² = 0.36 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 550·0.26/0.62 = 230.6 rpm

答案

n₂ = 230.6 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 430.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·120/400 = 435 rpm

有打滑

n₂ = 435·0.99 = 430.6 rpm

答案

n₂ = 430.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 600 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1440·36/72 = 720 rpm = n_C

第二级

n_out = 720·40/48 = 600 rpm

答案

n_out = 600 rpm

总传动比 = 2.4 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.2485 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1/2π)² = 0.2485 m

答案

L = 0.2485 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 12.79 m/s²

角频率

ω = √(270/3.8) = 8.429 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.18·8.429² = 12.79 m/s²

答案

a_max = 12.79 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 20.13 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(50000/2) = 158.1 rad/s

f_n = 158.1/(2π) = 25.16 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 25.16·√(1 − 0.6²) = 20.13 Hz

答案

f_d = 20.13 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 2.358 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 100 + 80 = 180 kN/m

k_eq = 180·25/(180 + 25) = 21.95 kN/m

固有频率

ω_n = √(21951/100) = 14.82 rad/s

f_n = 14.82/(2π) = 2.358 Hz

答案

f_n = 2.358 Hz

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