动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 25 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 25 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 30 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 27 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 5 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 65°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 360 m 的弯道倾斜 10°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 360 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 1.5 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 400 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 3.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1900 kg 汽车与一辆以 19 m/s 向北行驶的 800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1900 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 9 kg、长为 2.1 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 1 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 9 kgL = 2.1 mm_ball = 1 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

质量为 7.5 kg、长为 1.1 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 40 g 的子弹以 100 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 0.89 m 处并留在杆中。求撞击后瞬间杆的角速度 ω。

M = 7.5 kgL = 1.1 mm = 40 gv = 100 m/sd = 0.89 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 150 mm 的带轮以 1440 rpm 通过皮带驱动一个 400 mm 的带轮，打滑率为 2 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（40 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 36B = 40C = 24D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 1.7 kg 物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 13 cm 时的速度 v。

m = 1.7 kgk = 180 N/mA = 19 cmx = 13 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.9 kg 的物体连在 k = 450 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 2.9 kgk = 450 N/mA = 16 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 250 kg 的质量块挂在刚度为 150 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 250 kgk = 150 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 80 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 250 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/5 = 10 s

距离

d = v·t = 25·10 = 250 m

答案

d = 250 m

此时警车的速度为 2v = 50 m/s。

2.运动学

答案: t = 22.74 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 30·3 = 90 m/s

h₁ = ½·30·3² = 135 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (90 + √(90² + 2·9.81·135))/9.81 = 19.74 s

t = 3 + 19.74 = 22.74 s

答案

t = 22.74 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.554 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.1·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.0766) = 5.554 m/s²

答案

a = 5.554 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 11.56 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 0)/7 = 7.708 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.708 + 0 = 11.56 N

答案

T = 11.56 N

5.抛体运动

答案: H = 32.82 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 65° = 11.83 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 65° = 25.38 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 25.38²/(2·9.81) = 32.82 m

答案

H = 32.82 m

6.抛体运动

答案: x = 54.49 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 11.41 m/s, v_y = 24.47 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

5 = 24.47·t − 4.905·t²

t = (24.47 + √(24.47² − 2·9.81·5))/9.81 = 4.775 s

水平距离

x = v_x·t = 11.41·4.775 = 54.49 m

答案

x = 54.49 m

7.圆周运动

答案: v = 24.95 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(360·9.81·tan 10°) = 24.95 m/s

答案

v = 24.95 m/s

(89.84 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 3.595 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·3.5²/1.5 = 1.962 + 1.633 = 3.595 N

答案

T = 3.595 N

9.功和能

答案: h = 0.7339 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·400·0.06² = 0.72 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.72/0.981 = 0.7339 m

答案

h = 0.7339 m

10.功和能

答案: v = 7.345 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.3·2.5) = 53.96 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.75) = 7.345 m/s

答案

v = 7.345 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 12 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 0.5)/(1 + 0.5)·9 = 3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0.5)·9 = 12 m/s

答案

v′₂ = 12 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 19.18 °

动量分量

p_x = 1900·23 = 43700 kg·m/s

p_y = 800·19 = 15200 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.3478 → θ = 19.18°

答案

θ = 19.18°

13.刚体转动

答案: ω = 3.584 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9·9.81·1.05 + 1·9.81·2.1 = 113.3 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 13.23 + 4.41 = 17.64 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 113.3 → ω = √(2·113.3/17.64) = 3.584 rad/s

答案

ω = 3.584 rad/s

14.刚体转动

答案: ω = 1.165 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 7.5·1.1²/3 + 0.04·0.89² = 3.057 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.04·100·0.89/3.057 = 1.165 rad/s

答案

ω = 1.165 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 529.2 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1440·150/400 = 540 rpm

有打滑

n₂ = 540·0.98 = 529.2 rpm

答案

n₂ = 529.2 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 675 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·36/40 = 1350 rpm = n_C

第二级

n_out = 1350·24/48 = 675 rpm

答案

n_out = 675 rpm

总传动比 = 2.222 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 1.426 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/1.7) = 10.29 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.29·√(0.19² − 0.13²) = 1.426 m/s

答案

v = 1.426 m/s

18.弹簧与单摆

答案: E = 5.76 J

角频率

ω = √(450/2.9) = 12.46 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·450·0.16² = 5.76 J

答案

E = 5.76 J

19.机械振动

答案: f_d = 3.376 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(150000/250) = 24.49 rad/s

f_n = 24.49/(2π) = 3.898 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.898·√(1 − 0.5²) = 3.376 Hz

答案

f_d = 3.376 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 105 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 80 = 105 kN/m

答案

k_eq = 105 kN/m

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