动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 27 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 27 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 25 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 29 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 25 mv_0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 60 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 60 Nθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 6 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1500 kg 的汽车以 7 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1500 kgv = 7 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆小车在无摩擦轨道上由静止释放，驶入一个半径为 9.5 m 的竖直圆环。它必须从高出圆环底部至少多高 h_min 处出发，才能在圆环顶部保持在轨道上？

R = 9.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 8 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.35 kgv_in = 16 m/sv_out = 5 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 7.5 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 7.5 kgL = 0.8 mm_ball = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 6 kg 的实心圆柱以 6.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 6 kgv = 6.5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.5 kW 的电动机以 2900 rpm 运转，驱动一个齿数为 32 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 1.5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 20 个齿，每个行星轮有 15 个齿。齿圈固定，太阳轮以 3000 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 20N_p = 15n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 220 N/m 弹簧上的 1.6 kg 物体被沿正方向拉开 14 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.1 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.6 kgk = 220 N/mA = 14 cmt = 0.1 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 3.2 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.2 kgk = 420 N/mA = 20 cm

E = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 2 个周期出现峰值 4.5 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₂ = 4.5 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 12 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 13.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/4 = 13.5 s

答案

t = 13.5 s

此时警车的速度为 2v = 54 m/s。

2.运动学

答案: t = 0.8621 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

25 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 25/29 = 0.8621 s

答案

t = 0.8621 s

3.牛顿定律

答案: a = 1.595 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 60·sin 25° = 121.8 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 54.38 − 30.45

a = 23.93/15 = 1.595 m/s²

答案

a = 1.595 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.244 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 29.43 N

μ·m₁·g·cos θ = 10.19 N

系统的加速度

a = (88.29 − 29.43 − 10.19)/15 = 3.244 m/s²

答案

a = 3.244 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 16.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5.472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15.04 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.04/9.81 = 3.065 s

水平距离

x = v_x·t = 5.472·3.065 = 16.77 m

答案

x = 16.77 m

6.抛体运动

答案: x = 49.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18.02 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 18.02·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.02 + √(324.8 + 98.1))/9.81 = 3.933 s

水平距离

x = v_x·t = 12.62·3.933 = 49.63 m

答案

x = 49.63 m

7.圆周运动

答案: N = 13941 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·7²/95 = 14715 − 773.7 = 13941 N

答案

N = 13941 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: h_min = 23.75 m

顶部的条件

m·g = m·v²/R → v² = g·R

能量守恒

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·9.5 = 23.75 m

答案

h_min = 23.75 m

9.功和能

答案: v = 9.427 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.6428 − 0.1·0.766)) = 9.427 m/s

答案

v = 9.427 m/s

10.功和能

答案: v = 3.962 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·4) = 3.924 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.8) = 3.962 m/s

答案

v = 3.962 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 11.67 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·10 = 1.667 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·10 = 11.67 m/s

答案

v′₂ = 11.67 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 7.35 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(5 + 16) = 7.35 N·s

答案

J = 7.35 N·s

13.刚体转动

答案: v = 4.301 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 7.5·9.81·0.4 + 4.5·9.81·0.8 = 64.75 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1.6 + 2.88 = 4.48 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 64.75 → ω = √(2·64.75/4.48) = 5.376 rad/s

v = ω·L = 5.376·0.8 = 4.301 m/s

答案

v = 4.301 m/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 63.38 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·6·6.5² = 126.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·126.8 = 63.38 J

答案

E_rot = 63.38 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 4.939 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303.7 = 4.939 N·m

答案

T₁ = 4.939 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 857.1 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·15 = 50

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −50/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·20/70 = 857.1 rpm

答案

n_c = 857.1 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: x = 5.429 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(220/1.6) = 11.73 rad/s

ω·t = 11.73·0.1 = 1.173 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(1.173) = 5.429 cm

答案

x = 5.429 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 8.4 J

角频率

ω = √(420/3.2) = 11.46 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·420·0.2² = 8.4 J

答案

E = 8.4 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1493

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(30/4.5) = 0.9486

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9486/√(39.48 + 0.8998) = 0.1493

答案

ζ = 0.1493

20.机械振动

答案: k_eq = 8.108 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/12 + 1/25 → k_eq = 12·25/(12 + 25) = 8.108 kN/m

答案

k_eq = 8.108 kN/m

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