动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 22 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 22 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 140 N 的水平力拉前面 12 kg 的物块；9 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 12 kgF = 140 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 35 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 35 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.9 kgr = 1.4 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 250 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 6°F_r = 250 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 3 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 11 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。2 kg 的碎片以 66 m/s 继续向前运动。求 12 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 11 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 66 m/sm₂ = 12 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 0.5 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 1 kgL = 0.5 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 15 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 9 kg、半径为 0.1 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 15 kgM = 9 kgR = 0.1 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 40°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一个 120 mm 的带轮以 1500 rpm 通过皮带驱动一个 500 mm 的带轮，打滑率为 4 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（72 齿）。齿轮 C（40 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（45 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 36B = 72C = 40D = 45

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

把一个 0.9 kg 的物体挂在一根 k = 120 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 0.9 kgk = 120 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 50 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 100 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 50 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 20 kN/m，下弹簧 k₂ = 80 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 322.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·22/3 = 14.67 s

距离

d = v·t = 22·14.67 = 322.7 m

答案

d = 322.7 m

此时警车的速度为 2v = 44 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.199 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−15 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 15 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.199 s

答案

t = 3.199 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 60 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 61.8)/21 = 3.724 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(3.724 + 2.943) = 60 N

答案

T = 60 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 3.124 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12.86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15.32 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·15.32/9.81 = 3.124 s

答案

t = 3.124 s

6.抛体运动

答案: x = 134.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 24.51·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.51 + √(600.9 + 981))/9.81 = 6.553 s

水平距离

x = v_x·t = 20.57·6.553 = 134.8 m

答案

x = 134.8 m

7.圆周运动

答案: v_max = 14.35 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·35) = 14.35 m/s

答案

v_max = 14.35 m/s (51.67 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 31.97 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·6²/1.4 = 8.829 + 23.14 = 31.97 N

答案

T = 31.97 N

9.功和能

答案: P = 35.76 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 6° = 1538 N

F = 1538 + 250 = 1788 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1788·20 = 35763 W = 35.76 kW

答案

P = 35.76 kW

10.功和能

答案: x = 79.08 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3 − 0.1·4.5) = 250.2 J

最大压缩量

½kx² = 250.2 → x = √(2·250.2/800) = 0.7908 m = 79.08 cm

答案

x = 79.08 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.833 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 14·11 = 154 kg·m/s

碰撞后的动量

154 = 2·66 + 12·v′₂

v′₂ = (154 − 132)/12 = 1.833 m/s

答案

v′₂ = 1.833 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 112.3 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 35°) = 0.09042 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.09042) = 1.332 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.012·1.332/0.012 = 112.3 m/s

答案

v = 112.3 m/s

13.刚体转动

答案: T = 33.96 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 15·9.81/(15 + 4.5) = 7.546 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 15·(9.81 − 7.546) = 33.96 N

答案

T = 33.96 N

14.刚体转动

答案: a = 3.783 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 40°/1.667 = 3.783 m/s²

答案

a = 3.783 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 345.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1500·120/500 = 360 rpm

有打滑

n₂ = 360·0.96 = 345.6 rpm

答案

n₂ = 345.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 666.7 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·36/72 = 750 rpm = n_C

第二级

n_out = 750·40/45 = 666.7 rpm

答案

n_out = 666.7 rpm

总传动比 = 2.25 : 1

17.弹簧与单摆

答案: T = 1.419 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.5/9.81) = 1.419 s

答案

T = 1.419 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.8496 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 0.9·9.81/120 = 0.07358 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(120/0.9) = 11.55 rad/s

v_max = A·ω = 0.07358·11.55 = 0.8496 m/s

答案

v_max = 0.8496 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.07906

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·8) = 1265 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 100/1265 = 0.07906

答案

ζ = 0.07906

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 6.366 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/20 + 1/80 → k_eq = 20·80/(20 + 80) = 16 kN/m

固有频率

ω_n = √(16000/10) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

答案

f_n = 6.366 Hz

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