动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 28 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 30° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 135 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；11 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 11 kgm₂ = 7 kgF = 135 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 75 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 75 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.7 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 250 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 250 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 5 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 12 m/s 行驶的 1900 kg 汽车撞上一辆静止的 1200 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1900 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 4.5 kgL = 1.6 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

质量为 9 kg、长为 2.4 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 9 kgL = 2.4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个薄圆环沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 10°I = m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 12 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 50η = 97%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 500 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 500 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1 m 的单摆在小幅摆动时周期为 4.94 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1 mT = 4.94 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一颗以 350 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 350 m/sM = 1 kgk = 100 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 2 个周期出现峰值 15.1 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 25 mmx₂ = 15.1 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 10 kN/m，下弹簧 k₂ = 10 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 784 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/2 = 28 s

距离

d = v·t = 28·28 = 784 m

答案

d = 784 m

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 38.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 25 + 13.05 = 38.05 m

答案

h_max = 38.05 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.905 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答案

a = 4.905 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 82.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 35.32)/18 = 5.538 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(5.538 + 1.962) = 82.5 N

答案

T = 82.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 4.008 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·19.66/9.81 = 4.008 s

答案

t = 4.008 s

6.抛体运动

答案: t = 3.921 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 40° = 15.32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 40° = 12.86 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 12.86·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.86 + √(165.3 + 490.5))/9.81 = 3.921 s

答案

t = 3.921 s

7.圆周运动

答案: v_max = 21.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·75) = 21.01 m/s

答案

v_max = 21.01 m/s (75.64 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 2.62 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.7) = 2.62 m/s

答案

v_min = 2.62 m/s

9.功和能

答案: P = 23.48 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924.1 N

F = 924.1 + 250 = 1174 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1174·20 = 23483 W = 23.48 kW

答案

P = 23.48 kW

10.功和能

答案: x = 77.52 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.1·1) = 240.3 J

最大压缩量

½kx² = 240.3 → x = √(2·240.3/800) = 0.7752 m = 77.52 cm

答案

x = 77.52 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 52955 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·12/3100 = 7.355 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1900·12² = 136800 J

K_after = ½·3100·7.355² = 83845 J

损失的能量

ΔK = 136800 − 83845 = 52955 J

答案

ΔK = 52955 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v = 207.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 10°) = 0.02431 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02431) = 0.6906 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.515·0.6906/0.015 = 207.9 m/s

答案

v = 207.9 m/s

13.刚体转动

答案: v = 8.404 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 9·9.81·1.2 = 105.9 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 9·2.4²/3 = 17.28 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 105.9 → ω = √(2·105.9/17.28) = 3.502 rad/s

v = ω·L = 3.502·2.4 = 8.404 m/s

答案

v = 8.404 m/s

14.刚体转动

答案: a = 0.8517 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/2 = 0.8517 m/s²

答案

a = 0.8517 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 56.61 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

输出扭矩

T₂ = 14.01·50/12·0.97 = 56.61 N·m

答案

T₂ = 56.61 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 142.1 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.325) = 18.97°

包角

θ = 180 − 2·18.97 = 142.1°

答案

θ = 142.1°

17.弹簧与单摆

答案: g = 1.618 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/4.94² = 1.618 m/s²

答案

g = 1.618 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: A = 52.11 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/1.015 = 5.172 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(100/1.015) = 9.926 rad/s

振幅

A = V/ω = 5.172/9.926 = 0.5211 m = 52.11 cm

答案

A = 52.11 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.04009

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(25/15.1) = 0.2521

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2521/√(39.48 + 0.06355) = 0.04009

答案

ζ = 0.04009

20.机械振动

答案: f_n = 1.125 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/10 + 1/10 → k_eq = 10·10/(10 + 10) = 5 kN/m

固有频率

ω_n = √(5000/100) = 7.071 rad/s

f_n = 7.071/(2π) = 1.125 Hz

答案

f_n = 1.125 Hz

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