动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 32 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 32 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 30 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 30 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 3 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 20 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1500 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 95 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1500 kgv = 6 m/sr = 95 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆 5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 27.3 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 7 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 5 kgh = 27.3 mR = 7 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 40 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.4。求制动距离 d。

v = 40 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1000 kg 的汽车撞上一辆停放的 2000 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 11 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1000 kgm₂ = 2000 kgd = 11 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一个 12.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 14.5 kg、半径为 0.2 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块下落 1.5 m 后的速度 v。

m = 12.5 kgM = 14.5 kgR = 0.2 mg = 9.81 m/s²h = 1.5 m

v = m/s

14.刚体转动困难

一个质量为 17 kg 的空心球以 7.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 17 kgv = 7.5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 15 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 30 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 96%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 72η = 96%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（32 齿）。齿轮 C（24 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（25 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1450 rpmA = 30B = 32C = 24D = 25

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.59 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.9 mT = 2.59 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 15 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 3.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 15 gv = 400 m/sM = 3.5 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 5 个周期出现峰值 16 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₅ = 16 mmn = 5

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: d = 409.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/5 = 12.8 s

距离

d = v·t = 32·12.8 = 409.6 m

答案

d = 409.6 m

此时警车的速度为 2v = 64 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 137 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 30·1.5 = 45 m/s

h₁ = ½·30·1.5² = 33.75 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 45²/(2·9.81) = 103.2 m

h_max = 33.75 + 103.2 = 137 m

答案

h_max = 137 m

3.牛顿定律

答案: T = 42.04 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 3)·9.81/(7.5 + 3) = 4.204 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 4.204) = 42.04 N

答案

T = 42.04 N

4.牛顿定律

答案: T = 30.9 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 22.07)/12.5 = 0.981 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0.981 + 22.07 = 30.9 N

答案

T = 30.9 N

5.抛体运动

答案: H = 2.385 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 20° = 18.79 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 20° = 6.84 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 6.84²/(2·9.81) = 2.385 m

答案

H = 2.385 m

6.抛体运动

答案: x = 87.02 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 35° = 22.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 35° = 15.49 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 15.49·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.49 + √(239.8 + 294.3))/9.81 = 3.935 s

水平距离

x = v_x·t = 22.12·3.935 = 87.02 m

答案

x = 87.02 m

7.圆周运动

答案: N = 14147 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9.81 − 1500·6²/95 = 14715 − 568.4 = 14147 N

答案

N = 14147 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: N_top = 137.3 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(27.3 − 2·7) = 260.9 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 5·260.9/7 − 49.05 = 137.3 N

答案

N_top = 137.3 N

9.功和能

答案: d = 15.73 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.4·9.81) = 15.73 m

答案

d = 15.73 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 5.775 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.3·1) = 41.69 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.7) = 5.775 m/s

答案

v = 5.775 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.909 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·9 = −4.091 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·9 = 4.909 m/s

答案

v′₂ = 4.909 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 38.17 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·11) = 12.72 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·12.72/1000 = 38.17 m/s

答案

v₁ = 38.17 m/s

(137.4 km/h)

13.刚体转动

答案: v = 4.316 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 12.5·9.81/(12.5 + 7.25) = 6.209 m/s²

下落后的速度

v = √(2·a·h) = √(2·6.209·1.5) = 4.316 m/s

答案

v = 4.316 m/s

14.刚体转动

答案: E_k = 796.9 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·17·7.5² = 478.1 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·478.1 = 318.8 J

合计

E_k = 478.1 + 318.8 = 796.9 J

答案

E_k = 796.9 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 95.49 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m

答案

T₁ = 95.49 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 1305 rpm

第一级

n_B = 1450·30/32 = 1359 rpm = n_C

第二级

n_out = 1359·24/25 = 1305 rpm

答案

n_out = 1305 rpm

总传动比 = 1.111 : 1

17.弹簧与单摆

答案: g = 11.18 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/2.59² = 11.18 m/s²

答案

g = 11.18 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: A = 8.263 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.015·400/3.515 = 1.707 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/3.515) = 20.66 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.707/20.66 = 0.08263 m = 8.263 cm

答案

A = 8.263 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.02001

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/5)·ln(30/16) = 0.1257

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1257/√(39.48 + 0.01581) = 0.02001

答案

ζ = 0.02001

20.机械振动

答案: k_eq = 15 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 10 = 15 kN/m

答案

k_eq = 15 kN/m

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