动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.5 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 3 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 36 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 17 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 17 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 1.3 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 200 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 18 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 17 m/sv_out = 18 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 4.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 4.5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 4.5 kgL = 1.3 mm_ball = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 4.5 kg 的实心圆柱以 5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的总动能 E_k。

m = 4.5 kgv = 5 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 112.5 mm。须用一对模数为 3 mm、减速比为 1.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 112.5 mmm = 3 mmi = 1.5

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 12 个齿，每个行星轮有 24 个齿。齿圈固定，太阳轮以 3000 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 12N_p = 24n_s = 3000 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 80 N/m 弹簧上的 1.8 kg 物体在无摩擦表面上以 7 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 4 cm 时的速度 v。

m = 1.8 kgk = 80 N/mA = 7 cmx = 4 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.6 s，振幅为 6 cm。它从最大位移 6 cm 处运动到位移 1.5 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.6 sA = 6 cmx = 1.5 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块由刚度为 10 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 30 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 8 kgk = 10 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 15 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6 = 5 s

答案

t = 5 s

2.运动学

答案: d = 28.64 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 857.5 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·857.5))/(2·4.905) = 2.416 s

深度

d = ½·9.81·2.416² = 28.64 m

答案

d = 28.64 m

3.牛顿定律

答案: F = 242.2 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 114.3 + 127.9 = 242.2 N

答案

F = 242.2 N

4.牛顿定律

答案: T = 37.95 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 18.92 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.254 N

系统的加速度

a = (88.29 − 18.92 − 2.254)/12 = 5.593 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 5.593) = 37.95 N

答案

T = 37.95 N

5.抛体运动

答案: H = 27.29 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 40° = 27.58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 40° = 23.14 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 23.14²/(2·9.81) = 27.29 m

答案

H = 27.29 m

6.抛体运动

答案: α = 76.71 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 17·cos 60° = 8.5 m/s

v_y0 = 17·sin 60° = 14.72 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14.72² + 2·9.81·55) = 36 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 36/8.5 → α = 76.71°

答案

α = 76.71°

7.圆周运动

答案: v_max = 25.25 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·130) = 25.25 m/s

答案

v_max = 25.25 m/s (90.91 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 12.69 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·6.5²/1.3 = 2.943 + 9.75 = 12.69 N

答案

T = 12.69 N

9.功和能

答案: h = 0.367 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·200·0.06² = 0.36 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.36/0.981 = 0.367 m

答案

h = 0.367 m

10.功和能

答案: v = 9.805 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.1·1) = 96.14 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.9) = 9.805 m/s

答案

v = 9.805 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2.5)/(0.5 + 2.5)·6 = −4 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2.5)·6 = 2 m/s

答案

v′₂ = 2 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 700 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(18 + 17) = 3.5 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 3.5/0.005 = 700 N

答案

F_avg = 700 N

13.刚体转动

答案: ω = 4.121 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4.5·9.81·0.65 + 4.5·9.81·1.3 = 86.08 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2.535 + 7.605 = 10.14 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 86.08 → ω = √(2·86.08/10.14) = 4.121 rad/s

答案

ω = 4.121 rad/s

14.刚体转动

答案: E_k = 84.38 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·4.5·5² = 56.25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·56.25 = 28.13 J

合计

E_k = 56.25 + 28.13 = 84.38 J

答案

E_k = 84.38 J

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 30

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·112.5/3 = 75

按传动比分配

N₁ = 75/(1 + 1.5) = 30

答案

N₁ = 30

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 500 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·24 = 60

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(3000 − n_c)/(0 − n_c) = −60/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 3000·12/72 = 500 rpm

答案

n_c = 500 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.383 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(80/1.8) = 6.667 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 6.667·√(0.07² − 0.04²) = 0.383 m/s

答案

v = 0.383 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.7552 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.6 = 1.745 rad/s

求解时间

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/1.745 = 0.7552 s

答案

t = 0.7552 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.05303

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·8) = 565.7 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 30/565.7 = 0.05303

答案

ζ = 0.05303

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.295 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/15 + 1/20 → k_eq = 15·20/(15 + 20) = 8.571 kN/m

固有频率

ω_n = √(8571/20) = 20.7 rad/s

f_n = 20.7/(2π) = 3.295 Hz

答案

f_n = 3.295 Hz

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