动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 34 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 34 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 11 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。求总行驶时间 t。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 12 st₂ = 11 sa₃ = −2.5 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 25 N 的水平力拉前面 10 kg 的物块；1 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 10 kgF = 25 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.4 kg 的球系在长 0.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.4 kgr = 0.5 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一辆以 9 m/s 行驶的 900 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 900 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 29 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 29 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 1.5 kg、长为 1.3 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 1.5 kgL = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个人站在无摩擦的转盘上，每只手各拿一个 3 kg 的哑铃，距转轴 0.9 m。人和转盘单独对转轴的转动惯量为 4 kg·m²。他们以 35 rpm 转动，然后把哑铃收到距转轴 0.25 m 处。把哑铃看作质点。求新的转速 n₂，单位 rpm。

I₀ = 4 kg·m²m = 2 × 3 kgr₁ = 0.9 mr₂ = 0.25 mn₁ = 35 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 960 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮上。紧边张力为 1500 N，松边张力为 375 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 375 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 150 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 600 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 150 mmd₂ = 500 mmC = 600 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 410 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.1 kgk = 410 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 50 mm 之后一个周期出现峰值 30.2 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 50 mmx₁ = 30.2 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 462.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/5 = 13.6 s

距离

d = v·t = 34·13.6 = 462.4 m

答案

d = 462.4 m

此时警车的速度为 2v = 68 m/s。

2.运动学

答案: t = 32.6 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·12 = 24 m/s

制动时间

t₃ = v/a₃ = 24/2.5 = 9.6 s

总时间

t = 12 + 11 + 9.6 = 32.6 s

答案

t = 32.6 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 2.273 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 16.19)/11 = 0.8012 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(0.8012 + 1.472) = 2.273 N

答案

T = 2.273 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 1.169 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 35° = 8.192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 35° = 5.736 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·5.736/9.81 = 1.169 s

答案

t = 1.169 s

6.抛体运动

答案: α = 46.68 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 28·cos 20° = 26.31 m/s

v_y0 = 28·sin 20° = 9.577 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(9.577² + 2·9.81·35) = 27.9 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 27.9/26.31 → α = 46.68°

答案

α = 46.68°

7.圆周运动

答案: v_max = 18.53 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·70) = 18.53 m/s

答案

v_max = 18.53 m/s (66.71 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 86.18 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11.5² − 4·9.81·0.5 = 112.6 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.4·112.6/0.5 − 0.4·9.81 = 86.18 N

答案

T_top = 86.18 N

9.功和能

答案: v = 6.71 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5736 − 0.3·0.8192)) = 6.71 m/s

答案

v = 6.71 m/s

10.功和能

答案: x = 26.87 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.2·2) = 90.25 J

最大压缩量

½kx² = 90.25 → x = √(2·90.25/2500) = 0.2687 m = 26.87 cm

答案

x = 26.87 cm

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 18225 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·9/1800 = 4.5 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·900·9² = 36450 J

K_after = ½·1800·4.5² = 18225 J

损失的能量

ΔK = 36450 − 18225 = 18225 J

答案

ΔK = 18225 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 16.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(7 + 29) = 16.2 N·s

答案

J = 16.2 N·s

13.刚体转动

答案: v = 6.185 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 1.5·9.81·0.65 = 9.565 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 1.5·1.3²/3 = 0.845 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 9.565 → ω = √(2·9.565/0.845) = 4.758 rad/s

v = ω·L = 4.758·1.3 = 6.185 m/s

答案

v = 6.185 m/s

14.刚体转动

答案: n₂ = 70.88 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = 4 + 2·3·0.9² = 8.86 kg·m²

I₂ = 4 + 2·3·0.25² = 4.375 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 35·8.86/4.375 = 70.88 rpm

答案

n₂ = 70.88 rpm

动能增加了：多出来的能量来自人收哑铃时所做的功。

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.655 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 5.027 m/s

功率

P = (1500 − 375)·5.027 = 5655 W = 5.655 kW

答案

P = 5.655 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 146.1 °

皮带角

asin(0.2917) = 16.96°

包角

θ = 180 − 2·16.96 = 146.1°

答案

θ = 146.1°

17.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.9781 m/s

角频率

ω = √(410/2.1) = 13.97 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.07·13.97 = 0.9781 m/s

答案

v_max = 0.9781 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.07999

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(50/30.2) = 0.5042

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5042/√(39.48 + 0.2542) = 0.07999

答案

ζ = 0.07999

20.机械振动

答案: f_n = 14.13 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 50 + 15 = 65 kN/m

k_eq = 65·100/(65 + 100) = 39.39 kN/m

固有频率

ω_n = √(39394/5) = 88.76 rad/s

f_n = 88.76/(2π) = 14.13 Hz

答案

f_n = 14.13 Hz

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