动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.2 s，之后汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 1.2 sa = −4 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 6.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 5.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 30° 的角度朝 6 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 30°x = 6 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 24 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 24 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个系在长 0.8 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 40° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.2 kgr = 0.9 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 17 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 40°μ = 0.4d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 20 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 195 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.15。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 20 kgF = 195 Nθ = 35°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 10 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3 kgh = 10 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 4.5 kgL = 1.6 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 1.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 13.5 kg、半径为 0.3 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m = 1.5 kgM = 13.5 kgR = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.刚体转动困难

一个质量为 14.5 kg 的空心球以 1 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 14.5 kgv = 1 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 30、模数为 2 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 11 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 100 mm 的主动轮与一个 300 mm 的带轮相连；中心距为 500 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 410 N/m 弹簧上的 3.1 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 1 cm 时的速度 v。

m = 3.1 kgk = 410 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2 kgk = 150 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 80 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 80 kgk = 100 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 60 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 74 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·1.2 = 24 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

合计

d = 24 + 50 = 74 m

答案

d = 74 m

2.运动学

答案: d = 84.61 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1509))/(2·4.905) = 4.153 s

深度

d = ½·9.81·4.153² = 84.61 m

答案

d = 84.61 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2487

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·6.2) = 2.44 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.44/9.81 = 0.2487

答案

μ = 0.2487

4.牛顿定律

答案: a = 2.431 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 49.05 N

m₁·g·sin θ = 18.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.07 N

系统的加速度

a = (49.05 − 18.45 − 5.07)/10.5 = 2.431 m/s²

答案

a = 2.431 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 2.737 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 18·cos 30° = 15.59 m/s

t = x/v_x = 6/15.59 = 0.3849 s

此时的高度

y = 9·0.3849 − ½·9.81·0.3849² = 2.737 m

答案

y = 2.737 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: α = 52.99 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 24·cos 35° = 19.66 m/s

v_y0 = 24·sin 35° = 13.77 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.77² + 2·9.81·25) = 26.08 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 26.08/19.66 → α = 52.99°

答案

α = 52.99°

7.圆周运动

答案: v = 2.057 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.8·sin 40° = 0.5142 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5142·9.81·tan 40°) = 2.057 m/s

答案

v = 2.057 m/s

8.圆周运动

答案: T_top = 14.69 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·0.9 = 74.93 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.2·74.93/0.9 − 0.2·9.81 = 14.69 N

答案

T_top = 14.69 N

9.功和能

答案: W_f = 25.55 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.766 = 3.757 N

F = μN = 0.4·3.757 = 1.503 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.503·17 = 25.55 J

答案

W_f = 25.55 J

10.功和能

答案: v = 6.391 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 24.11 N

功–能关系

½mv² = (195 − 136.6)·7 = 408.5 J

v = √(2·408.5/20) = 6.391 m/s

答案

v = 6.391 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 281.5 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.1) = 1.401 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3)·1.401/0.015 = 281.5 m/s

答案

v = 281.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 311.5 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 10°) = 0.02431 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02431) = 0.6906 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.51·0.6906/0.01 = 311.5 m/s

答案

v = 311.5 m/s

13.刚体转动

答案: T = 12.04 N

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 1.5·9.81/(1.5 + 6.75) = 1.784 m/s²

张力

T = m·(g − a) = 1.5·(9.81 − 1.784) = 12.04 N

答案

T = 12.04 N

14.刚体转动

答案: p = 40 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·14.5·1² = 7.25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.6667·m·r²·(v/r)² = 0.6667·7.25 = 4.833 J

转动所占的份额

p = 4.833/12.08·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

答案

p = 40 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 2432 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 11000/150.8 = 72.95 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2·30 = 60 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·72.95/0.06 = 2432 N

答案

F_t = 2432 N

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 2.243 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.739 rad

松边张力

e^μθ = e^0.6847 = 1.983, T₂ = 600/1.983 = 302.5 N

功率

P = (600 − 302.5)·7.54 = 2.243 kW

答案

P = 2.243 kW

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.6804 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(410/3.1) = 11.5 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 11.5·√(0.06² − 0.01²) = 0.6804 m/s

答案

v = 0.6804 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.299 m/s

角频率

ω = √(150/2) = 8.66 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.15·8.66 = 1.299 m/s

答案

v_max = 1.299 m/s

19.机械振动

答案: f_d = 4.873 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(100000/80) = 35.36 rad/s

f_n = 35.36/(2π) = 5.627 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.627·√(1 − 0.5²) = 4.873 Hz

答案

f_d = 4.873 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 3.02 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 50 = 90 kN/m

k_eq = 90·60/(90 + 60) = 36 kN/m

固有频率

ω_n = √(36000/100) = 18.97 rad/s

f_n = 18.97/(2π) = 3.02 Hz

答案

f_n = 3.02 Hz

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