动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 10 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 10 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 1.1 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 3 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块从 30° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 75 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.1。求物块沿斜坡向上移动 9 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 75 Nθ = 30°μ = 0.1d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.7 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 40°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3 kgL = 1.7 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一根轴在 1100 rpm 时传递 52 kW。求轴中的转矩 T。

P = 52 kWn = 1100 rpm

T = N·m

14.刚体转动困难

一个空心球沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 6 m 需要多长时间 t？

θ = 20°I = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 6 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1500 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮上。紧边张力为 1000 N，松边张力为 250 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 2880 rpm 转动、直径 80 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.25，紧边张力不得超过 600 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 480 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.6 kgk = 480 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.3。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 80 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 85.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

答案

s = 85.73 m

2.运动学

答案: t = 2.951 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·25))/9.81 = 2.951 s

答案

t = 2.951 s

3.牛顿定律

答案: a = 3.257 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.1·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.09063) = 3.257 m/s²

答案

a = 3.257 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 8.759 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 6.131)/3.5 = 1.051 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·1.051 + 6.131 = 8.759 N

答案

T = 8.759 N

5.抛体运动

答案: t = 1.169 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 35° = 8.192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 35° = 5.736 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·5.736/9.81 = 1.169 s

答案

t = 1.169 s

6.抛体运动

答案: x = 83.61 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 40° = 20.68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 40° = 17.36 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 10 + 17.36·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.36 + √(301.2 + 196.2))/9.81 = 4.043 s

水平距离

x = v_x·t = 20.68·4.043 = 83.61 m

答案

x = 83.61 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.79 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·120) = 18.79 m/s

答案

v_max = 18.79 m/s (67.65 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 38.97 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·4²/1.1 = 15.7 + 23.27 = 38.97 N

答案

T = 38.97 N

9.功和能

答案: v = 4.911 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.5736 − 0.2·0.8192)) = 4.911 m/s

答案

v = 4.911 m/s

10.功和能

答案: v = 8.073 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 39.24 N

μ·mg·cos θ = 6.797 N

功–能关系

½mv² = (75 − 46.04)·9 = 260.7 J

v = √(2·260.7/8) = 8.073 m/s

答案

v = 8.073 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.25 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1.5)/(2.5 + 1.5)·5 = 1.25 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1.5)·5 = 6.25 m/s

答案

v′₂ = 6.25 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 701.2 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 40°) = 0.3977 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.3977) = 2.793 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.012·2.793/0.012 = 701.2 m/s

答案

v = 701.2 m/s

13.刚体转动

答案: T = 451.4 N·m

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1100/60 = 115.2 rad/s

扭矩

T = P/ω = 52000/115.2 = 451.4 N·m

答案

T = 451.4 N·m

14.刚体转动

答案: t = 2.441 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.6667·m·r²·(a/r) → f = 0.6667·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 20°/1.667 = 2.013 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·6/2.013) = 2.441 s

答案

t = 2.441 s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 7.069 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.425 m/s

功率

P = (1000 − 250)·9.425 = 7069 W = 7.069 kW

答案

P = 7.069 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 3.71 kW

包角

θ = 2.874 rad

松边张力

e^μθ = e^0.7185 = 2.051, T₂ = 600/2.051 = 292.5 N

功率

P = (600 − 292.5)·12.06 = 3.71 kW

答案

P = 3.71 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 15 m/s²

角频率

ω = √(480/1.6) = 17.32 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.05·17.32² = 15 m/s²

答案

a_max = 15 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 13.58 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/25) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.3²) = 13.58 Hz

答案

f_d = 13.58 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 8.145 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 80 + 30 = 110 kN/m

k_eq = 110·100/(110 + 100) = 52.38 kN/m

固有频率

ω_n = √(52381/20) = 51.18 rad/s

f_n = 51.18/(2π) = 8.145 Hz

答案

f_n = 8.145 Hz

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