动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 80 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 80 Nθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 135 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；1 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 1 kgm₂ = 6 kgF = 135 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 30°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的小球系在长 1.4 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 1.4 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的物块沿倾角 20° 的斜面下滑 9 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 39 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。18 kg 的碎片以 65 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 20 kgu = 39 m/sm₁ = 18 kgv′₁ = 65 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.35 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.35 kgv_in = 25 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一台电动机在 1100 rpm 时输出 600 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 600 N·mn = 1100 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一个 160 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 300 mm 的带轮，打滑率为 1 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（36 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（80 齿）。齿轮 C（25 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 562.5 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 3000 rpmA = 36B = 80C = 25n_out = 562.5 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 360 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.2 kgk = 360 N/mA = 6 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块由刚度为 25 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 80 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 25 kgk = 25 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 60 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 15 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6 = 5 s

答案

t = 5 s

2.运动学

答案: t = 4.343 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.343 s

答案

t = 4.343 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.567 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 80·sin 25° = 113.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 72.5 − 34

a = 38.5/15 = 2.567 m/s²

答案

a = 2.567 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 19.29 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 17.17)/7 = 16.83 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(16.83 + 2.453) = 19.29 N

答案

T = 19.29 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: x = 79.45 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 60° = 15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 60° = 25.98 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·25.98/9.81 = 5.297 s

水平距离

x = v_x·t = 15·5.297 = 79.45 m

答案

x = 79.45 m

6.抛体运动

答案: H = 29.99 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 30° = 14 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

离地面的高度

H = 20 + 9.99 = 29.99 m

答案

H = 29.99 m

7.圆周运动

答案: v = 2.712 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.5·sin 60° = 0.433 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.433·9.81·tan 60°) = 2.712 m/s

答案

v = 2.712 m/s

8.圆周运动

答案: T = 12.14 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·4.5²/1.4 = 4.905 + 7.232 = 12.14 N

答案

T = 12.14 N

9.功和能

答案: W_f = 62.22 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9397 = 46.09 N

F = μN = 0.15·46.09 = 6.914 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.914·9 = 62.22 J

答案

W_f = 62.22 J

10.功和能

答案: x = 35.37 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.1·4.5) = 62.54 J

最大压缩量

½kx² = 62.54 → x = √(2·62.54/1000) = 0.3537 m = 35.37 cm

答案

x = 35.37 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −195 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 20·39 = 780 kg·m/s

碰撞后的动量

780 = 18·65 + 2·v′₂

v′₂ = (780 − 1170)/2 = −195 m/s

答案

v′₂ = −195 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 532 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.35·(13 + 25) = 13.3 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 13.3/0.025 = 532 N

答案

F_avg = 532 N

13.刚体转动

答案: P = 69.12 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1100/60 = 115.2 rad/s

功率

P = T·ω = 600·115.2 = 69115 W = 69.12 kW

答案

P = 69.12 kW

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.05038

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.4 = 1.217 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 10°/1.4 = 0.05038

答案

μ_s = 0.05038

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 765.6 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·160/300 = 773.3 rpm

有打滑

n₂ = 773.3·0.99 = 765.6 rpm

答案

n₂ = 765.6 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 60

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 3000·36/80 = 1350 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 25·1350/562.5 = 60

答案

N_D = 60

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.4199 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答案

L = 0.4199 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.648 J

角频率

ω = √(360/1.2) = 17.32 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·360·0.06² = 0.648 J

答案

E = 0.648 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.0506

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·25) = 1581 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 80/1581 = 0.0506

答案

ζ = 0.0506

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 11.41 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 15 + 30 = 45 kN/m

k_eq = 45·60/(45 + 60) = 25.71 kN/m

固有频率

ω_n = √(25714/5) = 71.71 rad/s

f_n = 71.71/(2π) = 11.41 Hz

答案

f_n = 11.41 Hz

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