动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 7.5 kg 和 1.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 8.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 16 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 170 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.35d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 3.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 0.5 kgh = 3.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1500 kg 的汽车撞上一辆停放的 1800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 14.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1800 kgd = 14.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 34 s 把转动惯量为 28.5 kg·m² 的飞轮从静止加速到 600 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 28.5 kg·m²n = 600 rpmt = 34 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求其质心的加速度 a。

θ = 40°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

a = m/s²

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 30、模数为 2.5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 1.1 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2.5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（20 齿）以 3000 rpm 转动，驱动齿轮 B（24 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（48 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 3000 rpmA = 20B = 24C = 15D = 48

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 2.8 kg 物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的速度 v。

m = 2.8 kgk = 320 N/mA = 19 cmx = 14 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

把一个 2.5 kg 的物体挂在一根 k = 470 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.5 kgk = 470 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 2 个周期出现峰值 27.4 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 40 mmx₂ = 27.4 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 100 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 19.84 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

答案

s = 19.84 m

2.运动学

答案: h_max = 48.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 30 + 18.4 = 48.4 m

答案

h_max = 48.4 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.54 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (7.5 − 1.5)·9.81/(7.5 + 1.5) = 6.54 m/s²

答案

a = 6.54 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.109 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 16.68)/11.5 = 1.109 m/s²

答案

a = 1.109 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 1.526 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 20° = 15.04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 20° = 5.472 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 5.472²/(2·9.81) = 1.526 m

答案

H = 1.526 m

6.抛体运动

答案: t = 4.539 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10.14 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 10.14·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.14 + √(102.9 + 1079))/9.81 = 4.539 s

答案

t = 4.539 s

7.圆周运动

答案: v_max = 30.69 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·120) = 30.69 m/s

答案

v_max = 30.69 m/s (110.5 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 31.85 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(170·9.81·0.53/0.8713) = 31.85 m/s

答案

v_max = 31.85 m/s

(114.7 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 63.12 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N

F = μN = 0.35·13.87 = 4.856 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 4.856·13 = 63.12 J

答案

W_f = 63.12 J

10.功和能

答案: N = 9.81 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3.5 − 2) = 29.43 m²/s²

顶点的受力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·29.43/1 − 4.905 = 9.81 N

答案

N = 9.81 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 6.545 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 0.5)/(5 + 0.5)·8 = 6.545 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0.5)·8 = 14.55 m/s

答案

v′₁ = 6.545 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 32.14 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·14.5) = 14.61 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3300·14.61/1500 = 32.14 m/s

答案

v₁ = 32.14 m/s

(115.7 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 1.655 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·28.5·62.83² = 56257 J

平均功率

P_avg = E/t = 56257/34 = 1655 W = 1.655 kW

答案

P_avg = 1.655 kW

14.刚体转动

答案: a = 4.504 m/s²

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 40°/1.4 = 4.504 m/s²

答案

a = 4.504 m/s²

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 194.5 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 1100/150.8 = 7.295 N·m

分度圆直径

d = m·N = 2.5·30 = 75 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·7.295/0.075 = 194.5 N

答案

F_t = 194.5 N

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 781.3 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 3000·20/24 = 2500 rpm = n_C

第二级

n_out = 2500·15/48 = 781.3 rpm

答案

n_out = 781.3 rpm

总传动比 = 3.84 : 1

17.弹簧与单摆

答案: v = 1.373 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(320/2.8) = 10.69 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 10.69·√(0.19² − 0.14²) = 1.373 m/s

答案

v = 1.373 m/s

18.弹簧与单摆

答案: x_max = 10.44 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.5·9.81/470 = 0.05218 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1044 m = 10.44 cm

答案

x_max = 10.44 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.03009

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(40/27.4) = 0.1892

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1892/√(39.48 + 0.03578) = 0.03009

答案

ζ = 0.03009

20.机械振动

答案: f_n = 19.49 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

固有频率

ω_n = √(150000/10) = 122.5 rad/s

f_n = 122.5/(2π) = 19.49 Hz

答案

f_n = 19.49 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics