动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 32 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 16 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 32 m/sθ = 65°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 35 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 35 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 0.7 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 15 m/s 水平运动的 8 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 64 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 8 kgu = 15 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1.9 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 10°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2 kgL = 1.9 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一个 6.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 14.5 kg、半径为 0.2 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 6.5 kgM = 14.5 kgR = 0.2 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.05 m。求它沿斜面滚过 4.5 m 后的角速度 ω。

θ = 40°s = 4.5 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.05 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 48 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 72 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 48N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 125 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 125 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.6 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.7 kg 的物体连在 k = 100 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 3.7 kgk = 100 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 10 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 10 kgk = 10 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 100 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 20 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 33.18 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1 = 13.89 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5) = 19.29 m

合计

d = 13.89 + 19.29 = 33.18 m

答案

d = 33.18 m

2.运动学

答案: d = 60.86 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深度

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答案

d = 60.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 3.631 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

答案

a = 3.631 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 34.93 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 20.6)/11.5 = 2.047 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·2.047 + 20.6 = 34.93 N

答案

T = 34.93 N

5.抛体运动

答案: y = 27.45 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 32·cos 65° = 13.52 m/s

t = x/v_x = 16/13.52 = 1.183 s

此时的高度

y = 29·1.183 − ½·9.81·1.183² = 27.45 m

答案

y = 27.45 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 124.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 25° = 27.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 25° = 12.68 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 12.68·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.68 + √(160.7 + 882.9))/9.81 = 4.586 s

水平距离

x = v_x·t = 27.19·4.586 = 124.7 m

答案

x = 124.7 m

7.圆周运动

答案: v_max = 16.57 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·35) = 16.57 m/s

答案

v_max = 16.57 m/s (59.66 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 9.105 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·5²/0.7 = 1.962 + 7.143 = 9.105 N

答案

T = 9.105 N

9.功和能

答案: h = 2.039 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·2000·0.1² = 10 J

高度

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 10/4.905 = 2.039 m

答案

h = 2.039 m

10.功和能

答案: x = 10.79 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·3.5) = 4.66 J

最大压缩量

½kx² = 4.66 → x = √(2·4.66/800) = 0.1079 m = 10.79 cm

答案

x = 10.79 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −14.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 8·15 = 120 kg·m/s

碰撞后的动量

120 = 3·64 + 5·v′₂

v′₂ = (120 − 192)/5 = −14.4 m/s

答案

v′₂ = −14.4 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v = 301.8 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 10°) = 0.02887 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.02887) = 0.7526 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.005·0.7526/0.005 = 301.8 m/s

答案

v = 301.8 m/s

13.刚体转动

答案: α = 23.19 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 6.5·9.81/(6.5 + 7.25) = 4.637 m/s²

角加速度

α = a/R = 4.637/0.2 = 23.19 rad/s²

答案

α = 23.19 rad/s²

14.刚体转动

答案: ω = 123 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 4.5·sin 40° = 2.893 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·2.893/1.5) = 6.151 m/s

ω = v/r = 6.151/0.05 = 123 rad/s

答案

ω = 123 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 43.87 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

输出扭矩

T₂ = 29.84·72/48·0.98 = 43.87 N·m

答案

T₂ = 43.87 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 162 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1563) = 8.989°

包角

θ = 180 − 2·8.989 = 162°

答案

θ = 162°

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.68 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

答案

L = 1.68 m

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 4.324 m/s²

角频率

ω = √(100/3.7) = 5.199 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·5.199² = 4.324 m/s²

答案

a_max = 4.324 m/s²

19.机械振动

答案: f_d = 4.715 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(10000/10) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.35²) = 4.715 Hz

答案

f_d = 4.715 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 6.892 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 20 = 60 kN/m

k_eq = 60·100/(60 + 100) = 37.5 kN/m

固有频率

ω_n = √(37500/20) = 43.3 rad/s

f_n = 43.3/(2π) = 6.892 Hz

答案

f_n = 6.892 Hz

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