动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 70° 的角度抛出，落在 140 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 70°R = 140 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1000 kg 的汽车以 13 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 110 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1000 kgv = 13 m/sr = 110 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 130 m 的弯道倾斜 8°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 130 mθ = 8°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 6 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 110 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 10 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 110 Nθ = 25°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 5 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 56 m/s 继续向前运动。求 13 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 5 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 900 kg 的汽车撞上一辆停放的 1200 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 4 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 900 kgm₂ = 1200 kgd = 4 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 33 s 把转动惯量为 40 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1600 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 40 kg·m²n = 1600 rpmt = 33 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 30° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.3 m。求它沿斜面滚过 9 m 后的角速度 ω。

θ = 30°s = 9 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 20 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 25η = 97%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 30 个齿，每个行星轮有 18 个齿。行星架固定，太阳轮以 1800 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 30N_p = 18n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 170 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 3.2 kgk = 170 N/mA = 10 cmx = 6 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 4 s，振幅为 16 cm。它从平衡位置运动到位移 4.8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 4 sA = 16 cmx = 4.8 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 200 kg 的质量块由刚度为 150 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 550 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 200 kgk = 150 kN/mc = 550 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 20 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 40 kN/m，下弹簧 k₂ = 100 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 20 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 70.15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5.5) = 70.15 m

答案

s = 70.15 m

2.运动学

答案: d = 12.01 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

深度

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

答案

d = 12.01 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.447 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 3.924)/7 = 6.447 m/s²

答案

a = 6.447 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 46.22 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·140/sin 140°) = 46.22 m/s

答案

v₀ = 46.22 m/s

6.抛体运动

答案: H = 44.67 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 28·sin 20° = 9.577 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.577²/(2·9.81) = 4.674 m

离地面的高度

H = 40 + 4.674 = 44.67 m

答案

H = 44.67 m

7.圆周运动

答案: N = 8274 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9.81 − 1000·13²/110 = 9810 − 1536 = 8274 N

答案

N = 8274 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 19.46 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(130·9.81·0.2877/0.9694) = 19.46 m/s

答案

v_max = 19.46 m/s

(70.04 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 53.35 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.1·88.91 = 8.891 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.891·6 = 53.35 J

答案

W_f = 53.35 J

10.功和能

答案: v = 9.151 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 41.46 N

μ·mg·cos θ = 26.67 N

功–能关系

½mv² = (110 − 68.13)·10 = 418.7 J

v = √(2·418.7/10) = 9.151 m/s

答案

v = 9.151 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 1.077 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 14·5 = 70 kg·m/s

碰撞后的动量

70 = 1·56 + 13·v′₂

v′₂ = (70 − 56)/13 = 1.077 m/s

答案

v′₂ = 1.077 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 17.29 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·4) = 7.412 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·7.412/900 = 17.29 m/s

答案

v₁ = 17.29 m/s

(62.26 km/h)

13.刚体转动

答案: P_avg = 17.01 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1600/60 = 167.6 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·40·167.6² = 561471 J

平均功率

P_avg = E/t = 561471/33 = 17014 W = 17.01 kW

答案

P_avg = 17.01 kW

14.刚体转动

答案: ω = 22.15 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9·sin 30° = 4.5 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·4.5/2) = 6.644 m/s

ω = v/r = 6.644/0.3 = 22.15 rad/s

答案

ω = 22.15 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 36.18 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

输出扭矩

T₂ = 29.84·25/20·0.97 = 36.18 N·m

答案

T₂ = 36.18 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 818.2 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·18 = 66

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·30/66 = −818.2 rpm

|n_r| = 818.2 rpm

答案

n_r = 818.2 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.5831 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(170/3.2) = 7.289 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 7.289·√(0.1² − 0.06²) = 0.5831 m/s

答案

v = 0.5831 m/s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.194 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/4 = 1.571 rad/s

求解时间

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad

t = 0.3047/1.571 = 0.194 s

答案

t = 0.194 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.05021

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·200) = 10954 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 550/10954 = 0.05021

答案

ζ = 0.05021

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 6.015 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/40 + 1/100 → k_eq = 40·100/(40 + 100) = 28.57 kN/m

固有频率

ω_n = √(28571/20) = 37.8 rad/s

f_n = 37.8/(2π) = 6.015 Hz

答案

f_n = 6.015 Hz

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