动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 60 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 0.8 s，之后汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 60 km/ht_r = 0.8 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 10.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 14 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 10.5 m/sd = 14 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 70 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgF = 70 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 110 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一个半径为 370 m 的弯道倾斜 5°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 370 mθ = 5°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 36 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 350 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 3°F_r = 350 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 4 kgh = 2.5 mL = 2 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 14 m/s 水平运动的 6 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 62 m/s 继续向前运动。求 5 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 6 kgu = 14 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 62 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2 kgL = 1.6 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 38 s 把转动惯量为 23 kg·m² 的飞轮从静止加速到 600 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 23 kg·m²n = 600 rpmt = 38 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 40° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.05 m。求它沿斜面滚过 1.5 m 后的角速度 ω。

θ = 40°s = 1.5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.05 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 1.1 kW、1450 rpm 的电动机驱动一个 2 头的蜗杆。蜗轮有 30 个齿，传动效率为 55%。求蜗轮轴上的输出转矩 T_w。

z = 2N_w = 30n = 1450 rpmP = 1.1 kWη = 55%

T_w = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 7.5 kW、1450 rpm 的电动机驱动齿轮 A（40 齿），A 与齿轮 B（80 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（32 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（80 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 7.5 kWn_in = 1450 rpmA = 40B = 80C = 32D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.6 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.52 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.6 mT = 2.52 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 420 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 7 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.6 kgk = 420 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 2 个周期出现峰值 20.6 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₂ = 20.6 mmn = 2

ζ =

20.机械振动困难

一个 40 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 80 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 40 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 38.59 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.8 = 13.33 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

合计

d = 13.33 + 25.25 = 38.59 m

答案

d = 38.59 m

2.运动学

答案: d = 57.76 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1235 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1235))/(2·4.905) = 3.432 s

深度

d = ½·9.81·3.432² = 57.76 m

答案

d = 57.76 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4014

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 10.5²/(2·14) = 3.938 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.938/9.81 = 0.4014

答案

μ = 0.4014

4.牛顿定律

答案: T = 46.67 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 22.07)/15 = 3.195 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 10·(3.195 + 1.472) = 46.67 N

答案

T = 46.67 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: v₀ = 46.46 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 30°) = 46.46 m/s

答案

v₀ = 46.46 m/s

6.抛体运动

答案: t = 2.511 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 35° = 14.74 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 35° = 10.32 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 10.32·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.32 + √(106.6 + 98.1))/9.81 = 2.511 s

答案

t = 2.511 s

7.圆周运动

答案: v = 17.82 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(370·9.81·tan 5°) = 17.82 m/s

答案

v = 17.82 m/s

(64.15 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: P = 13.77 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 3° = 1027 N

F = 1027 + 350 = 1377 N

功率

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1377·10 = 13768 W = 13.77 kW

答案

P = 13.77 kW

10.功和能

答案: v = 6.57 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2.5 − 0.15·2) = 86.33 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.2) = 6.57 m/s

答案

v = 6.57 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.4 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 6·14 = 84 kg·m/s

碰撞后的动量

84 = 1·62 + 5·v′₂

v′₂ = (84 − 62)/5 = 4.4 m/s

答案

v′₂ = 4.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 822.4 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 30°) = 0.2144 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2144) = 2.051 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.005·2.051/0.005 = 822.4 m/s

答案

v = 822.4 m/s

13.刚体转动

答案: P_avg = 1.195 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·23·62.83² = 45400 J

平均功率

P_avg = E/t = 45400/38 = 1195 W = 1.195 kW

答案

P_avg = 1.195 kW

14.刚体转动

答案: ω = 67.38 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1.5·sin 40° = 0.9642 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·0.9642/1.667) = 3.369 m/s

ω = v/r = 3.369/0.05 = 67.38 rad/s

答案

ω = 67.38 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T_w = 59.77 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

蜗轮转速

n_w = n·z/N_w = 1450·2/30 = 96.67 rpm

输出扭矩

ω_w = 2π·96.67/60 = 10.12 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.55·1100/10.12 = 59.77 N·m

答案

T_w = 59.77 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 237.2 N·m

输出转速

n_out = 1450·(40/80)·(32/80) = 290 rpm

ω_out = 2π·290/60 = 30.37 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 7500·0.98² = 7203 W

T_out = P_out/ω_out = 7203/30.37 = 237.2 N·m

答案

T_out = 237.2 N·m

17.弹簧与单摆

答案: g = 3.73 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.6/2.52² = 3.73 m/s²

答案

g = 3.73 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.134 m/s

角频率

ω = √(420/1.6) = 16.2 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.07·16.2 = 1.134 m/s

答案

v_max = 1.134 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.0299

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/2)·ln(30/20.6) = 0.188

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.188/√(39.48 + 0.03533) = 0.0299

答案

ζ = 0.0299

20.机械振动

答案: f_n = 5.179 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 40 + 50 = 90 kN/m

k_eq = 90·80/(90 + 80) = 42.35 kN/m

固有频率

ω_n = √(42353/40) = 32.54 rad/s

f_n = 32.54/(2π) = 5.179 Hz

答案

f_n = 5.179 Hz

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