动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一位以 72 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.3 s，之后汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 72 km/ht_r = 1.3 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 19 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 19 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 1.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 70 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 75°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 35 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 35 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 6°F_r = 600 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 5.2 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 5.2 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 25 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。8 kg 的碎片以 80 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 25 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 80 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.15 kgv_in = 21 m/sv_out = 13 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 10.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 9.5 kg、半径为 0.25 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求滑轮的角加速度 α。

m = 10.5 kgM = 9.5 kgR = 0.25 mg = 9.81 m/s²

α = rad/s²

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求防止它打滑所需的最小静摩擦因数 μ_s。

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.齿轮与齿轮系中等

一台 5.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 24、模数为 3 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 5.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（30 齿）以 1450 rpm 转动，驱动齿轮 B（48 齿）。齿轮 C（12 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D。输出轴须以 725 rpm 转动。齿轮 D 须有多少个齿 N_D？

n_in = 1450 rpmA = 30B = 48C = 12n_out = 725 rpm

N_D =

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个 3.3 kg 的物体连在 k = 250 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.3 kgk = 250 N/mA = 9 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 50 kg 的质量块挂在刚度为 200 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 50 kgk = 200 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 15 kN/m。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: d = 70.44 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 20·1.3 = 26 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m

合计

d = 26 + 44.44 = 70.44 m

答案

d = 70.44 m

2.运动学

答案: t = 3.742 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−35 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 35 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.742 s

答案

t = 3.742 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 0.5606 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 10.79)/7 = 0.5606 m/s²

答案

a = 0.5606 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 37.06 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 150°) = 37.06 m/s

答案

v₀ = 37.06 m/s

6.抛体运动

答案: t = 4.391 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 55° = 6.309 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 55° = 9.011 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 9.011·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.011 + √(81.19 + 1079))/9.81 = 4.391 s

答案

t = 4.391 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.1 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·35) = 13.1 m/s

答案

v_max = 13.1 m/s (47.17 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.132 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1) = 3.132 m/s

答案

v_min = 3.132 m/s

9.功和能

答案: P = 32.51 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 6° = 1025 N

F = 1025 + 600 = 1625 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1625·20 = 32508 W = 32.51 kW

答案

P = 32.51 kW

10.功和能

答案: v = 4.852 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.2 − 4) = 23.54 m²/s²

v = 4.852 m/s

答案

v = 4.852 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −415 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 9·25 = 225 kg·m/s

碰撞后的动量

225 = 8·80 + 1·v′₂

v′₂ = (225 − 640)/1 = −415 m/s

答案

v′₂ = −415 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 127.5 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(13 + 21) = 5.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 5.1/0.04 = 127.5 N

答案

F_avg = 127.5 N

13.刚体转动

答案: α = 27.02 rad/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 10.5·9.81/(10.5 + 4.75) = 6.754 m/s²

角加速度

α = a/R = 6.754/0.25 = 27.02 rad/s²

答案

α = 27.02 rad/s²

14.刚体转动

答案: μ_s = 0.1332

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/1.4 = 2.961 m/s²

所需的摩擦

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0.4·tan 25°/1.4 = 0.1332

答案

μ_s = 0.1332

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 1013 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 5500/150.8 = 36.47 N·m

分度圆直径

d = m·N = 3·24 = 72 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·36.47/0.072 = 1013 N

答案

F_t = 1013 N

16.齿轮与齿轮系

答案: N_D = 15

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

中间轴转速

n_B = n_C = 1450·30/48 = 906.3 rpm

齿轮 D 的齿数

N_D = C·n_C/n_out = 12·906.3/725 = 15

答案

N_D = 15

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.3007 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.1/2π)² = 0.3007 m

答案

L = 0.3007 m

18.弹簧与单摆

答案: E = 1.012 J

角频率

ω = √(250/3.3) = 8.704 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·250·0.09² = 1.012 J

答案

E = 1.012 J

19.机械振动

答案: f_d = 9.429 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(200000/50) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.35²) = 9.429 Hz

答案

f_d = 9.429 Hz

20.机械振动

答案: f_n = 5.406 Hz

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/50 + 1/15 → k_eq = 50·15/(50 + 15) = 11.54 kN/m

固有频率

ω_n = √(11538/10) = 33.97 rad/s

f_n = 33.97/(2π) = 5.406 Hz

答案

f_n = 5.406 Hz

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