动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 54 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 3 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 18 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 40 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 32 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 20 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 60°h_roof = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 90 km/h 通过半径为 260 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 260 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 17 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.15d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 5 m/s 行驶的 600 kg 汽车撞上一辆静止的 1000 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 600 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 12 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 16 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

转动惯量为 30.5 kg·m² 的飞轮以 400 rpm 转动。制动器施加 10 N·m 的恒定摩擦转矩。飞轮在停下之前转过多少圈 N？

I = 30.5 kg·m²n = 400 rpmT_b = 10 N·m

N = rev

14.刚体转动困难

一个质量为 14.5 kg 的实心圆柱以 6 m/s 的速度无滑动地滚动。转动动能占总动能的百分之几 p？

m = 14.5 kgv = 6 m/sI = ½·m·r²

p = %

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 60 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 80 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 97%。求电动机轴上的扭矩 T₁。

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 60N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 4 kW、960 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（16 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（12 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（18 齿）。每对齿轮啮合的效率为 95%。求输出转矩 T_out。

P = 4 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 16C = 12D = 18η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 270 N/m 弹簧上的 0.3 kg 物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 6 cm 时的速度 v。

m = 0.3 kgk = 270 N/mA = 8 cmx = 6 cm

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.5 kgk = 50 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 30 mm 之后 4 个周期出现峰值 11 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 30 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 60 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 30 kN/m 和 k₂ = 10 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 25 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4.5) = 25 m

答案

s = 25 m

2.运动学

答案: h_max = 273.5 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 20·3 = 60 m/s

h₁ = ½·20·3² = 90 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m

h_max = 90 + 183.5 = 273.5 m

答案

h_max = 273.5 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.972 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答案

a = 1.972 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 12.75 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 4.414)/4.5 = 5.559 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·5.559 + 4.414 = 12.75 N

答案

T = 12.75 N

5.抛体运动

答案: t = 4.677 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 35° = 32.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 35° = 22.94 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.94/9.81 = 4.677 s

答案

t = 4.677 s

6.抛体运动

答案: x = 76.81 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 16 m/s, v_y = 27.71 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

20 = 27.71·t − 4.905·t²

t = (27.71 + √(27.71² − 2·9.81·20))/9.81 = 4.801 s

水平距离

x = v_x·t = 16·4.801 = 76.81 m

答案

x = 76.81 m

7.圆周运动

答案: θ = 13.77 °

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

单位

v = 90/3.6 = 25 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(260·9.81) = 0.245

θ = 13.77°

答案

θ = 13.77°

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: W_f = 191.6 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.15·75.15 = 11.27 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 11.27·17 = 191.6 J

答案

W_f = 191.6 J

10.功和能

答案: d = 1.31 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·2000·0.1² = 10 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(9.81·(0.5736 + 0.25·0.8192)) = 1.31 m

答案

d = 1.31 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 4688 J

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·5/1600 = 1.875 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·600·5² = 7500 J

K_after = ½·1600·1.875² = 2813 J

损失的能量

ΔK = 7500 − 2813 = 4688 J

答案

ΔK = 4688 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 4.2 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(12 + 16) = 4.2 N·s

答案

J = 4.2 N·s

13.刚体转动

答案: N = 425.9 rev

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·400/60 = 41.89 rad/s

制动器做的功等于动能

½·I·ω² = ½·30.5·41.89² = 26758 J

θ = 26758/10 = 2676 rad

圈数

N = θ/2π = 425.9 rev

答案

N = 425.9 rev

14.刚体转动

答案: p = 33.33 %

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·14.5·6² = 261 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.5·m·r²·(v/r)² = 0.5·261 = 130.5 J

转动所占的份额

p = 130.5/391.5·100% = c/(1 + c)·100% = 33.33%

答案

p = 33.33 %

这个份额只取决于形状，与质量和速度无关。

15.齿轮与齿轮系

答案: T₁ = 109.4 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m

答案

T₁ = 109.4 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 57.45 N·m

输出转速

n_out = 960·(15/16)·(12/18) = 600 rpm

ω_out = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 4000·0.95² = 3610 W

T_out = P_out/ω_out = 3610/62.83 = 57.45 N·m

答案

T_out = 57.45 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 1.587 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(270/0.3) = 30 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 30·√(0.08² − 0.06²) = 1.587 m/s

答案

v = 1.587 m/s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5196 m/s

角频率

ω = √(50/1.5) = 5.774 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.09·5.774 = 0.5196 m/s

答案

v_max = 0.5196 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03989

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(30/11) = 0.2508

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989

答案

ζ = 0.03989

20.机械振动

答案: f_n = 11.03 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 30 + 10 = 40 kN/m

k_eq = 40·60/(40 + 60) = 24 kN/m

固有频率

ω_n = √(24000/5) = 69.28 rad/s

f_n = 69.28/(2π) = 11.03 Hz

答案

f_n = 11.03 Hz

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