动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 1800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 1.9 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 1.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 12 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 12 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 75° 的角度抛出，落在 10 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 75°R = 10 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 38 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 45°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 115 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 115 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 70 m 的弯道倾斜 12°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 70 mθ = 12°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 18 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.1d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 10.4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 10.4 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用长 1.8 m 的轻绳悬挂的 4.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 4.5 kgL = 1.8 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机用 18 s 把转动惯量为 30 kg·m² 的飞轮从静止加速到 1000 rpm。忽略损耗，求它输出的平均功率 P_avg，单位 kW。

I = 30 kg·m²n = 1000 rpmt = 18 s

P_avg = kW

14.刚体转动困难

一个薄圆环从静止开始，沿与水平面成 35° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 8 m 后的速度 v。

θ = 35°s = 8 mI = m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1450 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮上。紧边张力为 400 N，松边张力为 200 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 160 mm 的带轮和一个 450 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 160 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.5 s，振幅为 17 cm。它从最大位移 17 cm 处运动到位移 4.25 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.5 sA = 17 cmx = 4.25 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 20 kg 的质量块由刚度为 12 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 50 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 20 kgk = 12 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在弹簧 k₃ = 20 kN/m 上。k₃ 的上端连接在一根刚性杆上，该杆由并排的两根弹簧 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m 悬挂；杆保持水平。忽略阻尼以及弹簧和杆的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.037 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·1800) = 1.037 m/s²

答案

a = 1.037 m/s²

2.运动学

答案: d = 16.81 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 651.7 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·651.7))/(2·4.905) = 1.851 s

深度

d = ½·9.81·1.851² = 16.81 m

答案

d = 16.81 m

3.牛顿定律

答案: F = 44.34 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 25.39 + 18.95 = 44.34 N

答案

F = 44.34 N

4.牛顿定律

答案: d = 10.54 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·6.832) = 10.54 m

答案

d = 10.54 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 14.01 m/s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·10/sin 150°) = 14.01 m/s

答案

v₀ = 14.01 m/s

6.抛体运动

答案: x = 144.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 26.87 m/s, v_y = 26.87 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 26.87·t − 4.905·t²

t = (26.87 + √(26.87² − 2·9.81·3))/9.81 = 5.364 s

水平距离

x = v_x·t = 26.87·5.364 = 144.1 m

答案

x = 144.1 m

7.圆周运动

答案: v_max = 28.1 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·115) = 28.1 m/s

答案

v_max = 28.1 m/s (101.2 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 19.39 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(70·9.81·0.5014/0.9158) = 19.39 m/s

答案

v_max = 19.39 m/s

(69.8 km/h)

9.功和能

答案: v = 9.36 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.342 − 0.1·0.9397)) = 9.36 m/s

答案

v = 9.36 m/s

10.功和能

答案: N = 9.81 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.4 − 8) = 47.09 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·47.09/4 − 49.05 = 9.81 N

答案

N = 9.81 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −1.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 3.5)/(1.5 + 3.5)·3 = −1.2 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3.5)·3 = 1.8 m/s

答案

v′₁ = −1.2 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v = 817.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.8·(1 − cos 30°) = 0.2412 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2412) = 2.175 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 4.512·2.175/0.012 = 817.9 m/s

答案

v = 817.9 m/s

13.刚体转动

答案: P_avg = 9.139 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

能量

E = ½·I·ω² = ½·30·104.7² = 164493 J

平均功率

P_avg = E/t = 164493/18 = 9139 W = 9.139 kW

答案

P_avg = 9.139 kW

14.刚体转动

答案: v = 6.709 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 8·sin 35° = 4.589 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·4.589/2) = 6.709 m/s

答案

v = 6.709 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 1.898 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.49 m/s

功率

P = (400 − 200)·9.49 = 1898 W = 1.898 kW

答案

P = 1.898 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 166.1 °

皮带角

asin(0.1208) = 6.94°

包角

θ = 180 − 2·6.94 = 166.1°

答案

θ = 166.1°

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.3147 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.5 = 4.189 rad/s

求解时间

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/4.189 = 0.3147 s

答案

t = 0.3147 s

19.机械振动

答案: ζ = 0.05103

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·20) = 979.8 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 50/979.8 = 0.05103

答案

ζ = 0.05103

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: f_n = 3.937 Hz

等效刚度

只有 k₁ 和 k₂ 是并联的。这一对与 k₃ 串联，所以要按倒数组合。

k₁₂ = 25 + 40 = 65 kN/m

k_eq = 65·20/(65 + 20) = 15.29 kN/m

固有频率

ω_n = √(15294/25) = 24.73 rad/s

f_n = 24.73/(2π) = 3.937 Hz

答案

f_n = 3.937 Hz

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