动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1900 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 28 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 35° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 110 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgF = 110 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 24 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 34 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 16 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 45°h_roof = 16 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.5 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.5 kgr = 1.4 mv_bottom = 10.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 60 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 60 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

在 30° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用长 2 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 20°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2 kgL = 2 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.刚体转动中等

转动惯量为 13 kg·m² 的飞轮以 1900 rpm 转动。制动器施加 55 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 13 kg·m²n = 1900 rpmT_b = 55 N·m

t = s

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 10° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 9 m 后的速度 v。

θ = 10°s = 9 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 11 kW 的电动机以 960 rpm 运转，驱动一个齿数为 24 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 25 的大齿轮啮合。忽略损失。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 25η = 100%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（16 齿）以 2900 rpm 转动，驱动齿轮 B（36 齿）。齿轮 C（18 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（24 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 2900 rpmA = 16B = 36C = 18D = 24

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 90 N/m 弹簧上的 0.3 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.35 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.3 kgk = 90 N/mA = 3 cmt = 1.35 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 1.9 kg 的物体连在 k = 330 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.9 kgk = 330 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

一个 25 kg 的质量块由刚度为 40 kN/m 的弹簧和阻尼系数为 160 N·s/m 的黏性阻尼器支承。求阻尼比 ζ。

m = 25 kgk = 40 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 100 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: v = 92.47 m/s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1900) = 92.47 m/s

答案

v = 92.47 m/s

(332.9 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 337.2 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 28·2.5 = 70 m/s

h₁ = ½·28·2.5² = 87.5 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 70²/(2·9.81) = 249.7 m

h_max = 87.5 + 249.7 = 337.2 m

答案

h_max = 337.2 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.627 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答案

a = 5.627 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.5 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (110 − 19.62)/8 = 11.3 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(11.3 + 2.453) = 27.5 N

答案

T = 27.5 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: t = 4.237 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20.78 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·20.78/9.81 = 4.237 s

答案

t = 4.237 s

6.抛体运动

答案: x = 98.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 24.04 m/s, v_y = 24.04 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

16 = 24.04·t − 4.905·t²

t = (24.04 + √(24.04² − 2·9.81·16))/9.81 = 4.107 s

水平距离

x = v_x·t = 24.04·4.107 = 98.75 m

答案

x = 98.75 m

7.圆周运动

答案: v_max = 34.31 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·150) = 34.31 m/s

答案

v_max = 34.31 m/s (123.5 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 14.85 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10.5² − 4·9.81·1.4 = 55.31 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.5·55.31/1.4 − 0.5·9.81 = 14.85 N

答案

T_top = 14.85 N

9.功和能

答案: d = 23.6 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 60/3.6 = 16.67 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16.67²/(2·0.6·9.81) = 23.6 m

答案

d = 23.6 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: d = 2.845 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(29.43·(0.5 + 0.25·0.866)) = 2.845 m

答案

d = 2.845 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −0.9231 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 4)/(2.5 + 4)·4 = −0.9231 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4)·4 = 3.077 m/s

答案

v′₁ = −0.9231 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: v = 616.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 20°) = 0.1206 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1206) = 1.538 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.005·1.538/0.005 = 616.9 m/s

答案

v = 616.9 m/s

13.刚体转动

答案: t = 47.03 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·1900/60 = 199 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 55/13 = 4.231 rad/s²

t = ω/α = 199/4.231 = 47.03 s

答案

t = 47.03 s

14.刚体转动

答案: v = 4.521 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9·sin 10° = 1.563 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·1.563/1.5) = 4.521 m/s

答案

v = 4.521 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 114 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m

输出扭矩

T₂ = 109.4·25/24·1 = 114 N·m

答案

T₂ = 114 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 966.7 rpm

第一级

n_B = 2900·16/36 = 1289 rpm = n_C

第二级

n_out = 1289·18/24 = 966.7 rpm

答案

n_out = 966.7 rpm

总传动比 = 3 : 1

17.弹簧与单摆

答案: x = −0.5349 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(90/0.3) = 17.32 rad/s

ω·t = 17.32·1.35 = 23.38 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(23.38) = −0.5349 cm

答案

x = −0.5349 cm

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.109 m/s

角频率

ω = √(330/1.9) = 13.18 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.16·13.18 = 2.109 m/s

答案

v_max = 2.109 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.08

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

临界阻尼

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·25) = 2000 N·s/m

阻尼比

ζ = c/c_c = 160/2000 = 0.08

答案

ζ = 0.08

ζ < 1，所以系统为欠阻尼，在衰减的同时振荡。

20.机械振动

答案: k_eq = 150 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 100 + 50 = 150 kN/m

答案

k_eq = 150 kN/m

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