动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 18 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 45 mv_0B = 18 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 2 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 0.82 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 2 m/sd = 0.82 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 32 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 90 km/h 通过半径为 360 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 360 mv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 1.3 kg 的球系在长 1.2 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.3 kgr = 1.2 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 1500 kg 的汽车以恒定的 72 km/h 驶上 3° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1500 kgθ = 3°F_r = 600 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 3.5 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 8 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1700 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.刚体转动中等

质量为 9 kg、长为 0.8 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 9 kgL = 0.8 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 10 m 后的速度 v。

θ = 20°s = 10 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 4 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 18 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 50 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 50η = 98%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 16 个齿，每个行星轮有 20 个齿。齿圈固定，太阳轮以 1800 rpm 驱动。求行星架的转速 n_c。

N_s = 16N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 210 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 16 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 4 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 210 N/mA = 16 cmx = 4 cm

U = J

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 40 mm 之后 3 个周期出现峰值 6 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 40 mmx₃ = 6 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 158.7 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·3.5) = 158.7 m

答案

s = 158.7 m

2.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 45/18 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2486

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

减速度

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·0.82) = 2.439 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.439/9.81 = 0.2486

答案

μ = 0.2486

4.牛顿定律

答案: a = 2.274 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 19.13)/11 = 2.274 m/s²

答案

a = 2.274 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 5.913 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 65° = 13.52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 65° = 29 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·29/9.81 = 5.913 s

答案

t = 5.913 s

6.抛体运动

答案: H = 64.2 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 19·sin 45° = 13.44 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 13.44²/(2·9.81) = 9.2 m

离地面的高度

H = 55 + 9.2 = 64.2 m

答案

H = 64.2 m

7.圆周运动

答案: θ = 10.04 °

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

单位

v = 90/3.6 = 25 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 25²/(360·9.81) = 0.177

θ = 10.04°

答案

θ = 10.04°

8.圆周运动

答案: T_top = 14.51 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·1.2 = 25.16 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.3·25.16/1.2 − 1.3·9.81 = 14.51 N

答案

T_top = 14.51 N

9.功和能

答案: P = 27.4 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1500·9.81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 3° = 770.1 N

F = 770.1 + 600 = 1370 N

功率

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1370·20 = 27402 W = 27.4 kW

答案

P = 27.4 kW

10.功和能

答案: x = 80.24 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.25·3.5) = 257.5 J

最大压缩量

½kx² = 257.5 → x = √(2·257.5/800) = 0.8024 m = 80.24 cm

答案

x = 80.24 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.714 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 1)/(2.5 + 1)·4 = 1.714 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 1)·4 = 5.714 m/s

答案

v′₁ = 1.714 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 23.71 °

动量分量

p_x = 1700·15 = 25500 kg·m/s

p_y = 1400·8 = 11200 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.4392 → θ = 23.71°

答案

θ = 23.71°

13.刚体转动

答案: ω = 6.065 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 9·9.81·0.4 = 35.32 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 9·0.8²/3 = 1.92 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 35.32 → ω = √(2·35.32/1.92) = 6.065 rad/s

答案

ω = 6.065 rad/s

14.刚体转动

答案: v = 6.689 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 10·sin 20° = 3.42 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·3.42/1.5) = 6.689 m/s

答案

v = 6.689 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 69.32 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157.1 = 25.46 N·m

输出扭矩

T₂ = 25.46·50/18·0.98 = 69.32 N·m

答案

T₂ = 69.32 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: n_c = 400 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

齿圈固定时的威利斯方程

令 n_r = 0，求行星架的转速。

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −56/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·16/72 = 400 rpm

答案

n_c = 400 rpm

行星架与太阳轮转向相同。

17.弹簧与单摆

答案: L = 1.948 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.8/2π)² = 1.948 m

答案

L = 1.948 m

18.弹簧与单摆

答案: U = 0.168 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·210·0.16² = 2.688 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·210·0.04² = 0.168 J

答案

U = 0.168 J

19.机械振动

答案: ζ = 0.1001

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(40/6) = 0.6324

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001

答案

ζ = 0.1001

20.机械振动

答案: k_eq = 35 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 30 = 35 kN/m

答案

k_eq = 35 kN/m

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