动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 32 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 32 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 10 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 10 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 190 Nθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 50° 的角度朝 39 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 50°x = 39 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 28 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 28 m/sθ = 60°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.9 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 3.9 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 160 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 160 mθ = 30°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.4。求它沿斜面滑行 11 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.4d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1900 kgd = 10 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

转动惯量为 17.5 kg·m² 的飞轮以 3000 rpm 转动。制动器施加 80 N·m 的恒定摩擦转矩。它需要多长时间 t 才能停下？

I = 17.5 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 80 N·m

t = s

14.刚体转动困难

质量为 1 kg、长为 1.5 m 的均匀细杆，从无摩擦的上端枢轴处静止悬挂。一颗 5 g 的子弹以 380 m/s 的速度水平击中杆上枢轴下方 1.15 m 处并留在杆中。取 g = 9.81 m/s²。求杆摆动偏离竖直方向的最大角度 φ。

M = 1 kgL = 1.5 mm = 5 gv = 380 m/sd = 1.15 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 93.75 mm。须用一对模数为 2.5 mm、减速比为 1.5 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。大齿轮须有多少个齿 N₂？

a = 93.75 mmm = 2.5 mmi = 1.5

N₂ =

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 12 个齿，每个行星轮有 12 个齿。行星架固定，太阳轮以 1440 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 12N_p = 12n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.65 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 1.65 s

g = m/s²

18.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 170 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 8 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的动能 K。

k = 170 N/mA = 8 cmx = 2 cm

K = J

19.机械振动中等

一个 40 kg 的质量块挂在刚度为 4 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.35。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 40 kgk = 4 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 25 kN/m 和 k₂ = 50 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 100 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 10.67 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/6 = 10.67 s

答案

t = 10.67 s

此时警车的速度为 2v = 64 m/s。

2.运动学

答案: h_max = 25.1 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

离地面的高度

h_max = 20 + 5.097 = 25.1 m

答案

h_max = 25.1 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.556 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 190·sin 40° = 172.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 145.5 − 68.87

a = 76.68/30 = 2.556 m/s²

答案

a = 2.556 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.679 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 13.49)/11 = 3.679 m/s²

答案

a = 3.679 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 32.55 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 36·cos 50° = 23.14 m/s

t = x/v_x = 39/23.14 = 1.685 s

此时的高度

y = 27.58·1.685 − ½·9.81·1.685² = 32.55 m

答案

y = 32.55 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 63.55 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 14 m/s, v_y = 24.25 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 24.25·t − 4.905·t²

t = (24.25 + √(24.25² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.539 s

水平距离

x = v_x·t = 14·4.539 = 63.55 m

答案

x = 63.55 m

7.圆周运动

答案: n = 18.1 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·3.9)) = 1.896 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 18.1 rpm

答案

n = 18.1 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 19.26 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(160·9.81·0.2402/1.016) = 19.26 m/s

答案

v_min = 19.26 m/s

(69.35 km/h)

9.功和能

答案: v = 7.285 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5736 − 0.4·0.8192)) = 7.285 m/s

答案

v = 7.285 m/s

10.功和能

答案: v = 8.077 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.15·4.5) = 16.31 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.325) = 8.077 m/s

答案

v = 8.077 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 0.3529 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 4)/(4.5 + 4)·6 = 0.3529 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 4)·6 = 6.353 m/s

答案

v′₁ = 0.3529 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 24.93 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·10) = 12.13 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3700·12.13/1800 = 24.93 m/s

答案

v₁ = 24.93 m/s

(89.77 km/h)

13.刚体转动

答案: t = 68.72 s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

减速度和时间

α = T_b/I = 80/17.5 = 4.571 rad/s²

t = ω/α = 314.2/4.571 = 68.72 s

答案

t = 68.72 s

14.刚体转动

答案: φ = 54.94 °

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

撞击后的转动惯量

I = M·L²/3 + m·d² = 1·1.5²/3 + 0.005·1.15² = 0.7566 kg·m²

对枢轴的角动量

枢轴力通过枢轴，所以撞击期间它对枢轴没有力矩。

m·v·d = I·ω → ω = 0.005·380·1.15/0.7566 = 2.888 rad/s

摆动过程中的能量

½·I·ω² = ½·0.7566·2.888² = 3.155 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 7.414·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 3.155/7.414 = 0.5744 → φ = 54.94°

答案

φ = 54.94°

15.齿轮与齿轮系

答案: N₂ = 45

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·93.75/2.5 = 75

按传动比分配

N₁ = 75/(1 + 1.5) = 30

N₂ = 1.5·30 = 45

答案

N₂ = 45

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 480 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·12 = 36

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·12/36 = −480 rpm

|n_r| = 480 rpm

答案

n_r = 480 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: g = 24.65 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/1.65² = 24.65 m/s²

答案

g = 24.65 m/s²

18.弹簧与单摆

答案: K = 0.51 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·170·0.08² = 0.544 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·170·0.02² = 0.034 J

动能

K = 0.544 − 0.034 = 0.51 J

答案

K = 0.51 J

19.机械振动

答案: f_d = 1.491 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(4000/40) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.35²) = 1.491 Hz

答案

f_d = 1.491 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 75 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 25 + 50 = 75 kN/m

答案

k_eq = 75 kN/m

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