动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 1100 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 16 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 11 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 11 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 10 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 10 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 118 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 45°x = 118 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 33 m/s、与水平方向成 65° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 19 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 33 m/sθ = 65°h_roof = 19 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 60° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 0.8 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 200 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 200 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 14 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 14 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 13 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

质量为 19 kg、长为 2.1 m 的均匀细杆一端铰接，保持水平。从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求释放瞬间自由端的加速度 a_tip。

m = 19 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.刚体转动困难

一个实心圆柱从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.25 m。求它沿斜面滚过 7 m 后的角速度 ω。

θ = 25°s = 7 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.25 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

一台 2.2 kW、转速 2900 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 4 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 2.2 kWn = 2900 rpmN₁ = 20m = 4 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 100 mm 的带轮和一个 315 mm 的带轮，二者中心相距 1000 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 1000 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.7 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.5 s，振幅为 16 cm。它从平衡位置运动到位移 9.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.5 sA = 16 cmx = 9.6 cm

t = s

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 4 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 4 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 25 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 40 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.698 m/s²

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·1100) = 1.698 m/s²

答案

a = 1.698 m/s²

2.运动学

答案: t = 3.549 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−5 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 5 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.549 s

答案

t = 3.549 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 1.489 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 56.27 N

μ·m₁·g·cos θ = 12.05 N

系统的加速度

a = (98.1 − 56.27 − 12.05)/20 = 1.489 m/s²

答案

a = 1.489 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 23.41 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 38·cos 45° = 26.87 m/s

t = x/v_x = 118/26.87 = 4.392 s

此时的高度

y = 26.87·4.392 − ½·9.81·4.392² = 23.41 m

答案

y = 23.41 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 74.99 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 13.95 m/s, v_y = 29.91 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

19 = 29.91·t − 4.905·t²

t = (29.91 + √(29.91² − 2·9.81·19))/9.81 = 5.377 s

水平距离

x = v_x·t = 13.95·5.377 = 74.99 m

答案

x = 74.99 m

7.圆周运动

答案: v = 4.698 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 1.5·sin 60° = 1.299 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(1.299·9.81·tan 60°) = 4.698 m/s

答案

v = 4.698 m/s

8.圆周运动

答案: T = 119 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·6.5²/0.8 = 18.64 + 100.3 = 119 N

答案

T = 119 N

9.功和能

答案: h = 0.2548 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·200·0.05² = 0.25 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 0.25/0.981 = 0.2548 m

答案

h = 0.2548 m

10.功和能

答案: v = 8.859 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(14 − 10) = 78.48 m²/s²

v = 8.859 m/s

答案

v = 8.859 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 5.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·8 = −2.667 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·8 = 5.333 m/s

答案

v′₂ = 5.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 13.8 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(10 + 13) = 13.8 N·s

答案

J = 13.8 N·s

13.刚体转动

答案: a_tip = 14.71 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

对销钉取矩

在释放的瞬间 ω = 0，所以没有向心加速度，质心笔直向下加速。

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

自由端的加速度

a_tip = α·L = 7.007·2.1 = 14.71 m/s²

答案

a_tip = 14.71 m/s²

对任何长度，a_tip = 1.5·g：自由端下落得比扔下的石头还快。

14.刚体转动

答案: ω = 24.88 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 7·sin 25° = 2.958 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·2.958/1.5) = 6.221 m/s

ω = v/r = 6.221/0.25 = 24.88 rad/s

答案

ω = 24.88 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 181.1 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 2200/303.7 = 7.244 N·m

分度圆直径

d = m·N = 4·20 = 80 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·7.244/0.08 = 181.1 N

答案

F_t = 181.1 N

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 167.7 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1075) = 6.171°

包角

θ = 180 − 2·6.171 = 167.7°

答案

θ = 167.7°

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.7181 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.7/2π)² = 0.7181 m

答案

L = 0.7181 m

18.弹簧与单摆

答案: t = 0.256 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.5 = 2.513 rad/s

求解时间

0.6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.6) = 0.6435 rad

t = 0.6435/2.513 = 0.256 s

答案

t = 0.256 s

19.机械振动

答案: f_d = 3.082 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(4000/8) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.5²) = 3.082 Hz

答案

f_d = 3.082 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 90 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 40 = 90 kN/m

答案

k_eq = 90 kN/m

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