动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 54 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 54 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 2.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 4 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 4.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 7.5 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 28 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 10 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 60 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 60 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.4 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.4 kgr = 0.6 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 1000 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一个以 9 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。8 kg 的碎片以 30 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 9 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 30 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.4 kgv_in = 14 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.刚体转动中等

一个 11.5 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 12.5 kg、半径为 0.25 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 11.5 kgM = 12.5 kgR = 0.25 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个实心球从静止开始，沿与水平面成 20° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它的半径为 0.3 m。求它沿斜面滚过 9.5 m 后的角速度 ω。

θ = 20°s = 9.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.3 m

ω = rad/s

15.齿轮与齿轮系中等

两根平行轴相距 180 mm。须用一对模数为 4 mm、减速比为 4 : 1 的直齿圆柱齿轮把它们连接起来。小齿轮须有多少个齿 N₁？

a = 180 mmm = 4 mmi = 4

N₁ =

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带连接一个 120 mm 的带轮和一个 500 mm 的带轮，二者中心相距 1200 mm。求小带轮上的包角 θ，单位为度。

d₁ = 120 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.3 kg 的物体连在 k = 360 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.3 kgk = 360 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 10 mm 之后 4 个周期出现峰值 2.2 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 10 mmx₄ = 2.2 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 50 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/6 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: d = 35.65 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 960.4 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·960.4))/(2·4.905) = 2.696 s

深度

d = ½·9.81·2.696² = 35.65 m

答案

d = 35.65 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.203 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 28.38 N

μ·m₁·g·cos θ = 6.763 N

系统的加速度

a = (73.58 − 28.38 − 6.763)/12 = 3.203 m/s²

答案

a = 3.203 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 19.98 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19.8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19.8 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 19.8²/(2·9.81) = 19.98 m

答案

H = 19.98 m

6.抛体运动

答案: α = 69.02 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 10·cos 20° = 9.397 m/s

v_y0 = 10·sin 20° = 3.42 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(3.42² + 2·9.81·30) = 24.5 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.5/9.397 → α = 69.02°

答案

α = 69.02°

7.圆周运动

答案: v_max = 21.7 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·60) = 21.7 m/s

答案

v_max = 21.7 m/s (78.12 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 72.07 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.4·9.81 + 1.4·5²/0.6 = 13.73 + 58.33 = 72.07 N

答案

T = 72.07 N

9.功和能

答案: h = 0.6371 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.25/1.962 = 0.6371 m

答案

h = 0.6371 m

10.功和能

答案: x = 41.39 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3.5 − 0.15·1.5) = 128.5 J

最大压缩量

½kx² = 128.5 → x = √(2·128.5/1500) = 0.4139 m = 41.39 cm

答案

x = 41.39 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −159 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

碰撞前的动量

p = M·u = 9·9 = 81 kg·m/s

碰撞后的动量

81 = 8·30 + 1·v′₂

v′₂ = (81 − 240)/1 = −159 m/s

答案

v′₂ = −159 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 12 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(16 + 14) = 12 N·s

答案

J = 12 N·s

13.刚体转动

答案: a = 6.356 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 11.5·9.81/(11.5 + 6.25) = 6.356 m/s²

答案

a = 6.356 m/s²

14.刚体转动

答案: ω = 22.49 rad/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 9.5·sin 20° = 3.249 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·3.249/1.4) = 6.748 m/s

ω = v/r = 6.748/0.3 = 22.49 rad/s

答案

ω = 22.49 rad/s

15.齿轮与齿轮系

答案: N₁ = 18

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

总齿数

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/4 = 90

按传动比分配

N₁ = 90/(1 + 4) = 18

答案

N₁ = 18

16.齿轮与齿轮系

答案: θ = 161.8 °

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带角

asin(0.1583) = 9.11°

包角

θ = 180 − 2·9.11 = 161.8°

答案

θ = 161.8°

17.弹簧与单摆

答案: T = 3.042 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.3/9.81) = 3.042 s

答案

T = 3.042 s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 23.48 m/s²

角频率

ω = √(360/2.3) = 12.51 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.15·12.51² = 23.48 m/s²

答案

a_max = 23.48 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.06014

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(10/2.2) = 0.3785

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3785/√(39.48 + 0.1433) = 0.06014

答案

ζ = 0.06014

20.机械振动

答案: f_n = 6.366 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 50 + 30 = 80 kN/m

固有频率

ω_n = √(80000/50) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

答案

f_n = 6.366 Hz

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