动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 3 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s 抛出，必须落在 110 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 40 m/sR = 110 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶部以 11 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 11 m/sθ = 60°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 0.3 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 2.5 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1100 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 11.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1100 kgm₂ = 800 kgd = 11.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.刚体转动中等

一台电动机在 2500 rpm 时输出 1180 N·m 的转矩。求它的输出功率 P，单位 kW。

T = 1180 N·mn = 2500 rpm

P = kW

14.刚体转动困难

一个均匀实心圆盘（质量 29 kg，半径 0.25 m）绕无摩擦的竖直轴以 550 rpm 自由旋转。一个质量为 11 kg、半径相同的薄圆环从静止状态落到它上面，圆心对准转轴，两者很快一起旋转。求它们共同的转速 n₂，单位 rpm。

M_disc = 29 kgM_ring = 11 kgR = 0.25 mn₁ = 550 rpm

n₂ = rpm

15.齿轮与齿轮系中等

一台 7.5 kW、转速 1440 rpm 的电动机驱动一个齿数为 20、模数为 5 mm 的小齿轮。求小齿轮齿上的切向力 F_t。

P = 7.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 5 mm

F_t = N

16.齿轮与齿轮系困难

一条开口皮带把一个以 1440 rpm 转动、直径 125 mm 的主动轮与一个 400 mm 的带轮相连；中心距为 1200 mm。摩擦系数为 0.3，紧边张力不得超过 1000 N。求皮带在不打滑时能传递的最大功率 P，单位 kW（忽略离心效应）。

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.3T₁ = 1000 N

P = kW

17.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.9 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.弹簧与单摆困难

一个 2.9 kg 的物体连在 k = 80 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.9 kgk = 80 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后 3 个周期出现峰值 8.5 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₃ = 8.5 mmn = 3

ζ =

20.机械振动困难

一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 60 kN/m，下弹簧 k₂ = 30 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 5.556 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6 = 5.556 s

答案

t = 5.556 s

2.运动学

答案: t = 4.33 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

答案

t = 4.33 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.5897 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答案

a = 0.5897 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 29.43 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 14.71 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (58.86 − 14.71 − 0)/9 = 4.905 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 4.905) = 29.43 N

答案

T = 29.43 N

5.抛体运动

答案: θ = 21.21 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·110/40² = 0.6744

相角

2θ = 42.41° → θ = 21.21°

答案

θ = 21.21°

另一个解为 90° − θ = 68.79°。

6.抛体运动

答案: H = 24.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

竖直方向的初速度

v_y = 11·sin 60° = 9.526 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 9.526²/(2·9.81) = 4.625 m

离地面的高度

H = 20 + 4.625 = 24.63 m

答案

H = 24.63 m

7.圆周运动

答案: v = 0.7616 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

圆的半径

r = L·sin θ = 0.3·sin 25° = 0.1268 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.1268·9.81·tan 25°) = 0.7616 m/s

答案

v = 0.7616 m/s

8.圆周运动

答案: T = 54.63 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·5²/0.7 = 11.77 + 42.86 = 54.63 N

答案

T = 54.63 N

9.功和能

答案: h = 0.8155 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·2000·0.04² = 1.6 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/1.962 = 0.8155 m

答案

h = 0.8155 m

10.功和能

答案: x = 25.25 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.15·2.5) = 63.77 J

最大压缩量

½kx² = 63.77 → x = √(2·63.77/2000) = 0.2525 m = 25.25 cm

答案

x = 25.25 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 768.7 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2.5)·1.534/0.005 = 768.7 m/s

答案

v = 768.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 21.71 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·11.5) = 12.57 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1900·12.57/1100 = 21.71 m/s

答案

v₁ = 21.71 m/s

(78.15 km/h)

13.刚体转动

答案: P = 308.9 kW

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

角速度

ω = 2π·2500/60 = 261.8 rad/s

功率

P = T·ω = 1180·261.8 = 308923 W = 308.9 kW

答案

P = 308.9 kW

14.刚体转动

答案: n₂ = 312.7 rpm

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

转动惯量

I₁ = ½·29·0.25² = 0.9063 kg·m²

I₂ = 11·0.25² = 0.6875 kg·m²

角动量守恒

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 550·0.9063/1.594 = 312.7 rpm

答案

n₂ = 312.7 rpm

15.齿轮与齿轮系

答案: F_t = 994.7 N

齿轮几何：模数 m 决定齿的大小。齿数为 N 的齿轮分度圆直径为 d = m·N，相互啮合的两个齿轮模数相同，其中心距为 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2。节线速度为 v = π·d·n/60，切向齿力由转矩求得：F_t = 2T/d。

小齿轮上的转矩

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 7500/150.8 = 49.74 N·m

分度圆直径

d = m·N = 5·20 = 100 mm

切向力

F_t = 2T/d = 2·49.74/0.1 = 994.7 N

答案

F_t = 994.7 N

16.齿轮与齿轮系

答案: P = 5.49 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

包角

θ = 2.912 rad

松边张力

e^μθ = e^0.8736 = 2.395, T₂ = 1000/2.395 = 417.5 N

功率

P = (1000 − 417.5)·9.425 = 5.49 kW

答案

P = 5.49 kW

17.弹簧与单摆

答案: T = 2.765 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

答案

T = 2.765 s

18.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.5777 m/s

角频率

ω = √(80/2.9) = 5.252 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.11·5.252 = 0.5777 m/s

答案

v_max = 0.5777 m/s

19.机械振动

答案: ζ = 0.03012

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/3)·ln(15/8.5) = 0.1893

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1893/√(39.48 + 0.03585) = 0.03012

答案

ζ = 0.03012

20.机械振动

答案: k_eq = 20 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/60 + 1/30 → k_eq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m

答案

k_eq = 20 kN/m

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