动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 17 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 17 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的物块沿倾角为 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 10 m/s、与水平方向成 70° 的角度朝 5 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 10 m/sθ = 70°x = 5 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 1.6 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 1.6 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 250 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 7 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.25d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 10.4 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 4 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 10.4 mR = 4 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 4.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 27 m/s 撞到墙上，并以 13 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.2 kgv_in = 27 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

一个 14 kg 的物块悬挂在绕过滑轮的轻绳上，滑轮是质量为 8 kg、半径为 0.3 m 的均匀实心圆盘，在无摩擦的水平轴上转动。物块从静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m = 14 kgM = 8 kgR = 0.3 mg = 9.81 m/s²

a = m/s²

14.刚体转动困难

一个空心球从静止开始，沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。求它沿斜面滚过 1.5 m 后的速度 v。

θ = 25°s = 1.5 mI = (2/3)·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.齿轮与齿轮系中等

一条皮带绕在一个以 1500 rpm 转动、直径 120 mm 的主动轮上。紧边张力为 600 N，松边张力为 120 N。求传递的功率 P，单位 kW。

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 600 NT₂ = 120 N

P = kW

16.齿轮与齿轮系困难

在一个复合轮系中，输入轴上的齿轮 A（40 齿）以 1500 rpm 转动，驱动齿轮 B（50 齿）。齿轮 C（15 齿）与 B 固定在同一根轴上，驱动输出轴上的齿轮 D（20 齿）。求输出转速 n_out。

n_in = 1500 rpmA = 40B = 50C = 15D = 20

n_out = rpm

17.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.弹簧与单摆困难

一颗以 150 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 150 m/sM = 2.5 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 15 mm 之后一个周期出现峰值 5.8 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 15 mmx₁ = 5.8 mmn = 1

ζ =

20.机械振动困难

一个 100 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 20 kN/m 和 k₂ = 15 kN/m。质量块保持水平。忽略阻尼和弹簧的质量。求竖向振动的固有频率 f_n，以 Hz 计。

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 4 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/5 = 4 s

答案

t = 4 s

2.运动学

答案: h_max = 44.73 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

离地面的高度

h_max = 30 + 14.73 = 44.73 m

答案

h_max = 44.73 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.421 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答案

a = 4.421 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 32.46 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 20.6)/11 = 1.694 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·1.694 + 20.6 = 32.46 N

答案

T = 32.46 N

5.抛体运动

答案: y = 3.255 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

到达墙的时间

v_x = 10·cos 70° = 3.42 m/s

t = x/v_x = 5/3.42 = 1.462 s

此时的高度

y = 9.397·1.462 − ½·9.81·1.462² = 3.255 m

答案

y = 3.255 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 80.71 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17.62 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 17.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.62 + √(310.4 + 981))/9.81 = 5.459 s

水平距离

x = v_x·t = 14.78·5.459 = 80.71 m

答案

x = 80.71 m

7.圆周运动

答案: n = 37.39 rpm

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·1.6)) = 3.915 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 37.39 rpm

答案

n = 37.39 rpm

8.圆周运动

答案: v_min = 19.36 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.1541/1.008) = 19.36 m/s

答案

v_min = 19.36 m/s

(69.7 km/h)

9.功和能

答案: v = 8.534 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.7071 − 0.25·0.7071)) = 8.534 m/s

答案

v = 8.534 m/s

10.功和能

答案: N = 1.962 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.4 − 8) = 47.09 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·47.09/4 − 9.81 = 1.962 N

答案

N = 1.962 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 4.5)/(1.5 + 4.5)·12 = −6 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4.5)·12 = 6 m/s

答案

v′₂ = 6 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 800 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(13 + 27) = 8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8/0.01 = 800 N

答案

F_avg = 800 N

13.刚体转动

答案: a = 7.63 m/s²

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

物块和滑轮

物块: m·g − T = m·a

滑轮: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

加速度

a = m·g/(m + M/2) = 14·9.81/(14 + 4) = 7.63 m/s²

答案

a = 7.63 m/s²

14.刚体转动

答案: v = 2.732 m/s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

下降的高度

h = s·sin θ = 1.5·sin 25° = 0.6339 m

滚动时的能量平衡

无滑动滚动：ω = v/r，接触点处的摩擦力不做功。

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.6667)

v = √(2·9.81·0.6339/1.667) = 2.732 m/s

答案

v = 2.732 m/s

15.齿轮与齿轮系

答案: P = 4.524 kW

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

皮带速度

v = 9.425 m/s

功率

P = (600 − 120)·9.425 = 4524 W = 4.524 kW

答案

P = 4.524 kW

16.齿轮与齿轮系

答案: n_out = 900 rpm

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

第一级

n_B = 1500·40/50 = 1200 rpm = n_C

第二级

n_out = 1200·15/20 = 900 rpm

答案

n_out = 900 rpm

总传动比 = 1.667 : 1

17.弹簧与单摆

答案: L = 0.897 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.9/2π)² = 0.897 m

答案

L = 0.897 m

18.弹簧与单摆

答案: A = 1.149 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·150/2.505 = 0.2994 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/2.505) = 26.05 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.2994/26.05 = 0.01149 m = 1.149 cm

答案

A = 1.149 cm

19.机械振动

答案: ζ = 0.1495

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/1)·ln(15/5.8) = 0.9502

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9502/√(39.48 + 0.9029) = 0.1495

答案

ζ = 0.1495

20.机械振动

答案: f_n = 2.978 Hz

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 20 + 15 = 35 kN/m

固有频率

ω_n = √(35000/100) = 18.71 rad/s

f_n = 18.71/(2π) = 2.978 Hz

答案

f_n = 2.978 Hz

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