动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 36 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 38 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 38 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 20° 向上的绳子以 70 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 70 Nθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 95 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 30°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 18 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.25d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.4 kg 的小球以 20 m/s 撞到墙上，并以 9 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.4 kgv_in = 20 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 6.5 kg、长为 1.4 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时的角速度 ω。

m = 6.5 kgL = 1.4 mg = 9.81 m/s²

ω = rad/s

14.刚体转动困难

一个质量为 7.5 kg 的薄圆环以 7.5 m/s 的速度无滑动地滚动。求它的转动动能 E_rot。

m = 7.5 kgv = 7.5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.齿轮与齿轮系中等

一台 3 kW 的电动机以 1500 rpm 运转，驱动一个齿数为 32 的小齿轮，小齿轮与一个齿数为 60 的大齿轮啮合。该齿轮副的效率为 98%。求齿轮轴上的输出扭矩 T₂。

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 32N₂ = 60η = 98%

T₂ = N·m

16.齿轮与齿轮系困难

一台 5.5 kW、1440 rpm 的电动机驱动齿轮 A（15 齿），A 与齿轮 B（36 齿）啮合。与 B 同轴的齿轮 C（18 齿）驱动输出轴上的齿轮 D（45 齿）。每对齿轮啮合的效率为 98%。求输出转矩 T_out。

P = 5.5 kWn_in = 1440 rpmA = 15B = 36C = 18D = 45η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 180 N/m 弹簧上的 1.4 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.3 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.4 kgk = 180 N/mA = 3 cmt = 0.3 s

v = m/s

18.弹簧与单摆困难

一个 0.4 kg 的物体连在 k = 40 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.4 kgk = 40 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.机械振动中等

在有阻尼质量–弹簧系统的自由振动试验中，位移峰值 25 mm 之后 4 个周期出现峰值 7.1 mm。求阻尼比 ζ。

x₀ = 25 mmx₄ = 7.1 mmn = 4

ζ =

20.机械振动困难

一个 50 kg 的质量块悬挂在并排（并联）的两根弹簧上，刚度分别为 k₁ = 5 kN/m 和 k₂ = 30 kN/m。质量块保持水平。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: t = 1.429 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/7 = 1.429 s

答案

t = 1.429 s

2.运动学

答案: h_max = 92.6 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

动力阶段

v₁ = 38·1 = 38 m/s

h₁ = ½·38·1² = 19 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 38²/(2·9.81) = 73.6 m

h_max = 19 + 73.6 = 92.6 m

答案

h_max = 92.6 m

3.牛顿定律

答案: a = 0.8607 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 70·sin 20° = 221.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 65.78 − 44.26

a = 21.52/25 = 0.8607 m/s²

答案

a = 0.8607 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.23 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 10.79)/8 = 1.717 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·1.717 + 10.79 = 20.23 N

答案

T = 20.23 N

5.抛体运动

答案: θ = 26.86 °

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/34² = 0.8062

相角

2θ = 53.72° → θ = 26.86°

答案

θ = 26.86°

另一个解为 90° − θ = 63.14°。

6.抛体运动

答案: t = 3.507 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 30° = 19.92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 30° = 11.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 11.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.5 + √(132.2 + 392.4))/9.81 = 3.507 s

答案

t = 3.507 s

7.圆周运动

答案: v_max = 24.86 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·90) = 24.86 m/s

答案

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.836 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

v_min = 3.836 m/s

9.功和能

答案: W_f = 62.43 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.7071 = 13.87 N

F = μN = 0.25·13.87 = 3.468 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 3.468·18 = 62.43 J

答案

W_f = 62.43 J

10.功和能

答案: x = 109.6 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(5 − 0.1·1) = 480.7 J

最大压缩量

½kx² = 480.7 → x = √(2·480.7/800) = 1.096 m = 109.6 cm

答案

x = 109.6 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 15 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·10 = 5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·10 = 15 m/s

答案

v′₂ = 15 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 1160 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.4·(9 + 20) = 11.6 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 11.6/0.01 = 1160 N

答案

F_avg = 1160 N

13.刚体转动

答案: ω = 4.585 rad/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 = 6.5·9.81·0.7 = 44.64 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 = 6.5·1.4²/3 = 4.247 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 44.64 → ω = √(2·44.64/4.247) = 4.585 rad/s

答案

ω = 4.585 rad/s

14.刚体转动

答案: E_rot = 210.9 J

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

平动部分和转动部分

E_trans = ½·m·v² = ½·7.5·7.5² = 210.9 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·210.9 = 210.9 J

答案

E_rot = 210.9 J

15.齿轮与齿轮系

答案: T₂ = 35.09 N·m

齿轮系：相互啮合的齿轮在轮齿处的线速度相同，所以 n₁·N₁ = n₂·N₂：齿数较少的齿轮转得更快。装在同一根轴上的齿轮转速相同。功率被传递下去（扣除损失），所以转速降低时扭矩增大：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η，且 P = T·ω，其中 ω = 2π·n/60。

电动机扭矩

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157.1 = 19.1 N·m

输出扭矩

T₂ = 19.1·60/32·0.98 = 35.09 N·m

答案

T₂ = 35.09 N·m

16.齿轮与齿轮系

答案: T_out = 210.2 N·m

输出转速

n_out = 1440·(15/36)·(18/45) = 240 rpm

ω_out = 2π·240/60 = 25.13 rad/s

输出功率和转矩

P_out = 5500·0.98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/25.13 = 210.2 N·m

答案

T_out = 210.2 N·m

17.弹簧与单摆

答案: v = 0.08748 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(180/1.4) = 11.34 rad/s

ω·t = 11.34·0.3 = 3.402 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·11.34·sin(3.402) = 0.08748 m/s

答案

v = 0.08748 m/s

18.弹簧与单摆

答案: a_max = 16 m/s²

角频率

ω = √(40/0.4) = 10 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·10² = 16 m/s²

答案

a_max = 16 m/s²

19.机械振动

答案: ζ = 0.05002

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

对数衰减率

δ = (1/4)·ln(25/7.1) = 0.3147

阻尼比

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09903) = 0.05002

答案

ζ = 0.05002

20.机械振动

答案: k_eq = 35 kN/m

等效刚度

并排的弹簧变形相同、力相加，所以刚度直接相加：k = k₁ + k₂。

k_eq = 5 + 30 = 35 kN/m

答案

k_eq = 35 kN/m

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