动力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

刚体转动

对质心 G 的转动惯量: 杆 mL²/12，圆盘 ½mR²，圆环 mR²，实心球 (2/5)mR²，空心球 (2/3)mR²
平行移轴定理: I = I_G + m·d²
回转半径: I = m·k²
杆绕端点: I = mL²/3
运动方程: ΣM = I·α
以 rad/s 表示的转速: ω = 2π·n/60
动能: E = ½·I·ω²
功和功率: W = T·θ, P = T·ω
无滑动滚动: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
角动量: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
绕枢轴的撞击: m·v·d = I·ω

方法

选择轴：固定的枢轴，或者对滚动的物体选质心。
用标准结果求出对该轴的转动惯量，转轴平移时用 I = I_G + m·d²。
选择方法：求加速度和力用 ΣM = I·α，求速度用能量（½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h），求撞击和突然变化用角动量。
用 v = ω·r 和 a = α·r 联系线运动和角运动，并把 rpm 换算成 rad/s。

齿轮与齿轮系

啮合齿轮: n₁·N₁ = n₂·N₂
扭矩: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
功率: P = T·ω, ω = 2π·n/60
复合轮系: 总传动比 = 各级传动比之积

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

机械振动

固有频率: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
由静挠度求: ω_n = √(g/δ_st)
临界阻尼: c_c = 2√(km) = 2mω_n
阻尼比: ζ = c/c_c
阻尼固有频率: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
对数衰减率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
弹簧并联: k = k₁ + k₂
弹簧串联: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 25 N 的水平力拉前面 8 kg 的物块；5 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 8 kgF = 25 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 38 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 8 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 38 m/sθ = 45°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆 1200 kg 的汽车以 16 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 55 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1200 kgv = 16 m/sr = 55 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个半径为 200 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 200 mθ = 20°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 3 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 7.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 2 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一辆以 10 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1300 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 6 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 16 m/sv_out = 6 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.刚体转动中等

质量为 5 kg、长为 0.6 m 的均匀细杆一端铰接，在水平位置从静止释放。一个质量为 5 kg 的小球固定在它的自由端。忽略摩擦，取 g = 9.81 m/s²。求杆摆过竖直位置时自由端的速度 v。

m = 5 kgL = 0.6 mm_ball = 5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.刚体转动困难

一个实心球沿与水平面成 25° 的斜面无滑动地滚下。取 g = 9.81 m/s²。它从静止开始。沿斜面滚下 10 m 需要多长时间 t？

θ = 25°I = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²s = 10 m

t = s

15.齿轮与齿轮系中等

一个 150 mm 的带轮以 1450 rpm 通过皮带驱动一个 200 mm 的带轮，打滑率为 1.5 %。求从动轮的转速 n₂。

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 200 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.齿轮与齿轮系困难

在一个行星齿轮系中，太阳轮有 30 个齿，每个行星轮有 18 个齿。行星架固定，太阳轮以 900 rpm 驱动。求齿圈的转速 n_r（大小）。

N_s = 30N_p = 18n_s = 900 rpm

n_r = rpm

17.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的 1 kg 物体被沿正方向拉开 4 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.1 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1 kgk = 350 N/mA = 4 cmt = 0.1 s

x = cm

18.弹簧与单摆困难

一个 3.5 kg 的物体连在 k = 290 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.5 kgk = 290 N/mA = 4 cm

E = J

19.机械振动中等

一个 8 kg 的质量块挂在刚度为 100 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.5。求其自由振动的有阻尼固有频率 f_d，以 Hz 计。

m = 8 kgk = 100 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.机械振动困难

一个 10 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 50 kN/m，下弹簧 k₂ = 25 kN/m。求弹簧系统的等效刚度 k_eq，以 kN/m 计。

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.运动学

答案: s = 82.3 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

答案

s = 82.3 m

2.运动学

答案: h_max = 46.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 40 + 6.167 = 46.17 m

答案

h_max = 46.17 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 9.615 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (25 − 19.13)/13 = 0.4516 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(0.4516 + 1.472) = 9.615 N

答案

T = 9.615 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: H = 10.52 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.37²/(2·9.81) = 10.52 m

答案

H = 10.52 m

6.抛体运动

答案: x = 138.7 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

v_x = 26.87 m/s, v_y = 26.87 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

8 = 26.87·t − 4.905·t²

t = (26.87 + √(26.87² − 2·9.81·8))/9.81 = 5.162 s

水平距离

x = v_x·t = 26.87·5.162 = 138.7 m

答案

x = 138.7 m

7.圆周运动

答案: N = 6187 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9.81 − 1200·16²/55 = 11772 − 5585 = 6187 N

答案

N = 6187 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: v_max = 36.4 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(200·9.81·0.5769/0.8542) = 36.4 m/s

答案

v_max = 36.4 m/s

(131.1 km/h)

9.功和能

答案: h = 0.4587 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 3 cm = 0.03 m

½kx² = ½·2000·0.03² = 0.9 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.9/1.962 = 0.4587 m

答案

h = 0.4587 m

10.功和能

答案: v = 7.004 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²

v = 7.004 m/s

答案

v = 7.004 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 53.57 %

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·10/2800 = 4.643 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·10² = 65000 J

K_after = ½·2800·4.643² = 30179 J

损失的比例

ΔK/K = 34821/65000 = 53.57 %

答案

ΔK/K = 53.57 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 242 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(6 + 16) = 12.1 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 12.1/0.05 = 242 N

答案

F_avg = 242 N

13.刚体转动

答案: v = 3.639 m/s

绕定轴转动：各力对转轴的力矩之和等于 I·α（ΣM = I·α），就像平动中的 ΣF = m·a。用能量形式表示，转矩 T 转过角度 θ（弧度）做的功为 T·θ，它改变动能 ½·I·ω²；重力使质心增加或减少 m·g·Δh。功率为 P = T·ω。

势能的减少

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 5·9.81·0.3 + 5·9.81·0.6 = 44.14 J

对销钉的转动惯量

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0.6 + 1.8 = 2.4 kg·m²

能量衡算

½·I_O·ω² = 44.14 → ω = √(2·44.14/2.4) = 6.065 rad/s

v = ω·L = 6.065·0.6 = 3.639 m/s

答案

v = 3.639 m/s

14.刚体转动

答案: t = 2.599 s

滚动与角动量：无滑动滚动的物体满足 v = ω·r，所以它的动能是 ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²))。沿斜面滚下时给出 a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²))。当没有外力矩作用于某一轴时，对该轴的角动量保持不变，I₁·ω₁ = I₂·ω₂，即使动能有损失。

运动方程

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.4·m·r²·(a/r) → f = 0.4·m·a

加速度

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/1.4 = 2.961 m/s²

时间

s = ½·a·t² → t = √(2·10/2.961) = 2.599 s

答案

t = 2.599 s

15.齿轮与齿轮系

答案: n₂ = 1071 rpm

皮带传动：无打滑时，两个带轮的轮缘线速度相同，v = π·d·n/60，所以 n₁·d₁ = n₂·d₂，速比为 d₂/d₁。打滑率 s 使从动轮稍慢：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。传递的功率为 P = (T₁ − T₂)·v，其中 T₁ 为紧边张力，T₂ 为松边张力。摩擦限制了张力之比：T₁/T₂ = e^μθ，其中 θ 是小带轮上的包角（弧度）；对开口皮带，θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))，C 为中心距。

无打滑时的转速

1450·150/200 = 1088 rpm

有打滑

n₂ = 1088·0.985 = 1071 rpm

答案

n₂ = 1071 rpm

16.齿轮与齿轮系

答案: n_r = 409.1 rpm

行星齿轮系：太阳轮、齿圈和行星架的转速由威利斯方程 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s 联系起来：从行星架上看，该轮系是以行星轮为惰轮的普通轮系。固定其中一个构件，轮系就成为一个单一传动比的减速器。

齿圈齿数

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·18 = 66

行星架固定时的威利斯方程

n_c = 0 时，太阳轮通过起惰轮作用的行星轮驱动齿圈。

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·30/66 = −409.1 rpm

|n_r| = 409.1 rpm

答案

n_r = 409.1 rpm

齿圈与太阳轮转向相反。

17.弹簧与单摆

答案: x = −1.182 cm

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(350/1) = 18.71 rad/s

ω·t = 18.71·0.1 = 1.871 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(1.871) = −1.182 cm

答案

x = −1.182 cm

18.弹簧与单摆

答案: E = 0.232 J

角频率

ω = √(290/3.5) = 9.103 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·290·0.04² = 0.232 J

答案

E = 0.232 J

19.机械振动

答案: f_d = 15.41 Hz

质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ω_n = √(k/m)（rad/s），f_n = ω_n/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/c_c，其中临界阻尼 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

无阻尼固有频率

ω_n = √(100000/8) = 111.8 rad/s

f_n = 111.8/(2π) = 17.79 Hz

有阻尼固有频率

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17.79·√(1 − 0.5²) = 15.41 Hz

答案

f_d = 15.41 Hz

20.机械振动

答案: k_eq = 16.67 kN/m

等效刚度

串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k₁ + 1/k₂。

1/k_eq = 1/50 + 1/25 → k_eq = 50·25/(50 + 25) = 16.67 kN/m

答案

k_eq = 16.67 kN/m

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